1島根大学 2024年 数学 第1問解答・解説

・ t=3^x (t>0) とおくと、方程式は $t^2-t=1$、すなわち $t^2-t-1=0$ となる。したがって $\displaystyle t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ であるが、$t>0$ より $\displaystyle t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。よって $\displaystyle 3^x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ だから、$\displaystyle x=\log_3\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

・ $9^x>0$ なので元の方程式を $9^x$ で割ると、$\displaystyle \left(\frac{25}{9}\right)^x-\left(\frac{15}{9}\right)^x=1$。ここで $\displaystyle \frac{25}{9}=\left(\frac{5}{3}\right)^2$、$\displaystyle \frac{15}{9}=\frac{5}{3}$ より、$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{2x}-\left(\frac{5}{3}\right)^x=1$ となる。$\displaystyle u=\left(\frac{5}{3}\right)^x\ (u>0)$ とおけば $u^2-u-1=0$ であり、正の解は $\displaystyle u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。したがって $\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ より、$\displaystyle x=\log_{\frac{5}{3}}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。