4島根大学 2024年 数学 第4問解答・解説

・ 二項定理より $$\displaystyle (x+1)^5=\binom50x^5+\binom51x^4+\binom52x^3+\binom53x^2+\binom54x+\binom55=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1.$$

・ $1\le k\le p-1$ である。$p$ 個のものから異なる $k$ 個を順に選ぶ方法は $p(p-1)\cdots(p-k+1)$ 通りである。一方、選んだ $k$ 個の組合せの各々には順序が $k!$ 通りあるから、 $$\displaystyle p(p-1)\cdots(p-k+1)=k!\binom{p}{k}.$$ 右辺の $\displaystyle \binom{p}{k}$ は組合せの総数なので整数である。また、$k!$ の各因数は $1$ 以上 $k$ 以下であり、いずれも素数 $p$ より小さいから、$p$ は $k!$ を割り切らない。上の等式の左辺は $p$ の倍数であるので、素数の性質より $\displaystyle p\mid\binom{p}{k}$ となる。

・ $P(n)$ を「$p$ は $n^p-n$ を割り切る」とする。まず $n=1$ では $1^p-1=0$ だから $P(1)$ は成り立つ。

$P(n)$ が成り立つと仮定する。このとき二項定理と (2) より $$\displaystyle (n+1)^p-(n+1)=(n^p-n)+\sum\limits _{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}n^{p-k}.$$ 仮定により右辺第1項は $p$ の倍数であり、(2) により和の各項も $p$ の倍数である。したがって $(n+1)^p-(n+1)$ は $p$ の倍数、すなわち $P(n+1)$ が成り立つ。以上より数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $p\mid(n^p-n)$ である。