9千葉大学 2026年 数学 第9問解答・解説

(1) n=0ではn^p-n=0である。n^p-nがpの倍数と仮定すると、二項定理より$$\displaystyle \begin{aligned}(n+1)^p-(n+1)&=n^p-n+\sum\limits _{j=1}^{p-1}\binom{p}{j} n^{p-j}\end{aligned}$$である。問題文で使用が許された性質から各$\displaystyle \binom{p}{j}$はpの倍数なので、右辺もpの倍数である。よって数学的帰納法によりすべてのn$\ge$0で成り立つ。

(2) x=kpとおく。二項定理から$$\displaystyle \begin{aligned}(1+kp)^p-(1+kp)&=kp(p-1)+\sum\limits _{j=2}^{p-1}\binom{p}{j}(kp)^j+(kp)^p.\end{aligned}$$ここで2$\le$ j$\le$ p-1の各項はp^{j+1}の倍数であり、最後の項もp^pの倍数だから、和の後半は$p^2$の倍数である（p=2では中間の和は空）。したがって$(kp+1)^p-(kp+1)\equiv kp(p-1)\pmod{p^2}$。これが$p^2$の倍数となる条件はp$\mid$ k(p-1)、すなわちp$\mid$ kである。0$\le$ k$\le$ p-1ではk=0だけなので1個。

(3) 各mを一意にm=a+kp（0$\le$ a,k$\le$ p-1）と表す。二項展開で、j=1の項はp a^{p-1}(kp)=k p^2a^{p-1}、j=2からp-1の項はp^{j+1}の倍数、最後の(kp)^pも$p^2$の倍数である。よって$$\begin{aligned}m^p-m&\equiv a^p-a-kp\pmod{p^2}.\end{aligned}$$（p=2ではj=2からp-1の項は空。）(1)よりc_a=(a^p-a)/pは整数であり、m^p-mが$p^2$の倍数となる条件はk$\equiv$ c_a$\pmod p$である。各a=0,1,$\ldots$,p-1に対し、この条件を満たすkは0,1,$\ldots$,p-1の中にちょうど1つある。したがって該当するmは合計p個。