3昭和大学 2018年 数学 第3問解答・解説

昭和大学 2018年度 医学部 I期 数学 問3 答え　 (1) 24,　 (2) 324,　 (3) 6$\sqrt3$,　 (4) 19,　 (5-1) $\displaystyle \frac{102}{455}$,　 (5-2) $\displaystyle \frac{265}{91}$.

・ $2018\equiv18\pmod{100}$ なので、$2018^{2018}\equiv18^{2018}\pmod{100}$。 剰余を順に計算すると $$18^2\equiv24,\quad18^3\equiv32,\quad18^4\equiv76,\quad 18^5\equiv68,\quad18^6\equiv24\pmod{100}.$$ よって指数が2から始まる4周期であり、$2018-2=2016$ は4の倍数だから $18^{2018}\equiv18^2\equiv24\pmod{100}$。下2桁は24.

・ $(3x^3+1/x)^9$ の一般項で、$3x^3$ を $k$ 回選ぶと $1/x$ は $9-k$ 回選ばれる。 その項の $x$ の指数は $$3k-(9-k)=4k-9.$$ これが $-1$ となるのは $k=2$ のときであり、求める係数は $$\displaystyle \binom92\,3^2=36\cdot9=324.$$

・ 対数の定義域より $x>0,\ y>0$。対数の性質を使うと $\log_3(xy)=2$ なので $xy=9$。相加相乗平均より $$\displaystyle 3x+y=3x+\frac9x\geq2\sqrt{3x\cdot\frac9x}=6\sqrt3.$$ 等号成立条件は $3x=9/x$、すなわち $x=\sqrt3$。このとき $y=9/x=3\sqrt3$ で条件を満たすため、最小値は $6\sqrt3$.

・ データを昇順に並べると $$23,31,35,37,49,57,60,67,73,81,92.$$ 個数は11なので中央値57を除いた下側5個と上側5個の中央値から $Q_1=35,\ Q_3=73$。したがって四分位偏差は $$\displaystyle \frac{Q_3-Q_1}{2}=\frac{73-35}{2}=19.$$

・ 全16個から4個を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{16}{4}=1820$ 通り。

・ 使う2色を先に選ぶ方法は $\displaystyle \binom42=6$ 通り。 指定した2色をどちらも少なくとも1個使って合計4個選ぶ方法は、 個数の分け方 $(1,3),(2,2),(3,1)$ により $$\displaystyle \binom41\binom43+\binom42\binom42+\binom43\binom41 =16+36+16=68.$$ よって有利な取り出し方は $6\cdot68=408$ 通りで、確率は $$\displaystyle \frac{408}{1820}=\frac{102}{455}.$$

・ 各色 $c$ について、その色が取り出されたとき1、されないとき0となる指示変数を $I_c$ とする。 色 $c$ が選ばれない方法は残り12個から4個を選ぶ $\displaystyle \binom{12}{4}$ 通りなので $$\displaystyle E(I_c)=1-\frac{\binom{12}{4}}{\binom{16}{4}} =1-\frac{495}{1820}=\frac{265}{364}.$$ 取り出された色の種類数は4色の指示変数の和である。期待値の線形性より $$\displaystyle E(I_{\text{青}}+I_{\text{赤}}+I_{\text{白}}+I_{\text{黒}}) =4\cdot\frac{265}{364}=\frac{265}{91}.$$

検算　 (1) $18^2,18^3,18^4,18^5,18^6$ の剰余は順に $24,32,76,68,24$ となり指数の巡回を確認できる。 (2) $k=2$ の項の指数は $6-7=-1$。 (3) 等号点は $(x,y)=(\sqrt3,3\sqrt3)$ で、積は9。 (4) $Q_3-Q_1=38$ の半分は19。 (5) 色数が1,2,3,4の選び方はそれぞれ $4,408,1152,256$ 通りで総数は1820。 この分布からの平均は $(4+2\cdot408+3\cdot1152+4\cdot256)/1820=265/91$ と一致する。