1弘前大学 2021年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-aeedf5a7fa86-Q1 結論　 (1) $\displaystyle \frac{79}{112}$,　　 (2) $\displaystyle \frac{19}{56}$,　　 (3) $\displaystyle \frac{27}{112}$.　 　 3枚の選び方はどれも同様に確からしく、全事象の数は $$\displaystyle \binom{16}{3}=560$$ である。1から16までのうち3の倍数は5枚、余り1のカードは6枚、余り2のカードは5枚である。

$$\text{(1)}$$ 積が3の倍数でないのは、3の倍数のカードを1枚も選ばないときである。したがって、積が3の倍数となる選び方は $$\displaystyle \binom{16}{3}-\binom{11}{3}=560-165=395$$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{395}{560}=\frac{79}{112}.$$

$$\text{(2)}$$ 3枚の余りの和が0（mod 3）となるのは、余りが $(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2),(0,1,2)$ のいずれかのときである。該当する選び方は $$\displaystyle \binom{5}{3}+\binom{6}{3}+\binom{5}{3}+5\cdot6\cdot5 =10+20+10+150=190$$ 通りなので、求める確率は $$\displaystyle \frac{190}{560}=\frac{19}{56}.$$

$$\text{(3)}$$ 積が3の倍数でないためには、余り0のカードを選ばず、余り1の6枚と余り2の5枚から選ぶ必要がある。この条件のもとで和が3の倍数でない3枚の余りの組は $(1,1,2),(1,2,2)$ である。その選び方は $$\displaystyle \binom{6}{2}\binom{5}{1}+\binom{6}{1}\binom{5}{2} =15\cdot5+6\cdot10=135$$ 通りである。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{135}{560}=\frac{27}{112}.$$