2京都府立医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$k,l$ を $6$ で割った余りをそれぞれ $u,v$ とする。点列は $$(u,v),(2u,2v),\ldots,(6u,6v)\pmod 6$$ であり、最初に $(0,0)$ に戻る周期の点がちょうど $A(k,l)$ の要素となる。$d=\gcd(6,u,v)$ とおくと、この周期は $6/d$ である。実際、$6\mid mu,\ 6\mid mv$ となる最小の正整数 $m$ は $6/d$ である。したがって $$\displaystyle n(A(k,l))=\frac6{\gcd(6,k,l)}.$$

(1) $n(A(k,l))\le3$ となるのは、$\gcd(6,k,l)\ge2$、すなわち $k,l$ がともに偶数、またはともに $3$ の倍数の場合である。出目 $1,\ldots,6$ のうち偶数は $3$ 個、$3$ の倍数は $2$ 個であり、両方に属する出目は $6$ のみである。よって該当する順序対は $$3^2+2^2-1^2=12\text{ 通り}$$ であり、求める確率は $12/36=\boxed{1/3}$ である。

(2) 2回の出目の順序対はそれぞれ $36$ 通りで、全体は $36^2$ 通りである。各 $A$ は点 $(0,0)$ を含む周期列で、要素数は $1,2,3,6$ のいずれかである。2つの集合の和集合の要素数が $7$ になるには、一方が $6$ 個、他方が $2$ 個で、共通点が $(0,0)$ だけでなければならない。実際、$1$ 個の集合は $\{(0,0)\}$ なので6個の集合と合わせても6個、3個と6個の集合の共通部分は1個または3個、6個同士の共通部分も余りの組の加減で閉じ、6点周期列中の周期列なので、その要素数は6の約数1,2,3,6のいずれかであるため、他の組合せでは和集合の要素数は7にならない。

要素数6の集合を与える出目対は $\gcd(6,k,l)=1$ を満たす。これは「両方偶数」でも「両方3の倍数」でもない場合なので、前問と同じ数え方で $36-(9+4-1)=24$ 通りである。要素数2の集合を与える出目対は、余りの組が $(3,0),(0,3),(3,3)$ に対応する3通りである。要素数6の周期列には3倍目の点として周期2の非零点がただ1つ含まれ、3つの要素数2の集合のうちこの点を含まないものが2つある。したがって、順序を固定して「6個の集合、次に2個の集合」となる有利な組は $24\cdot2=48$ 通りであり、順序を逆にした場合も48通りである。よって確率は $$\displaystyle \frac{48+48}{36^2}=\boxed{\frac2{27}}.$$