2藤田医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

3回の取り出しは袋に戻して行うので、順序つきの取り出し方は全部で $4^3=64$ 通りあり、同様に確からしい。

(1) 最後に取り出した数字が 12 なら、できた整数の下2桁は12で4の倍数となる。この場合は最初の2回が任意なので $4^2=16$ 通り。最後が2なら、下2桁は「2回目の数字の一の位」と2である。下2桁が4の倍数となるのは2回目が1または11の場合で、最初は任意だから $2\cdot4=8$ 通り。最後が1または11なら整数は奇数である。よって確率は $$\displaystyle \frac{16+8}{64}=\frac38.$$

(2) 整数の3の倍数判定には各数字の和を用いる。1は余り1、2と11は余り2、12は余り0を与える。3回分の余りの和が3の倍数となるのは、(0,0,0)、(1,1,1)、(2,2,2)、または余り0,1,2が1つずつ出る場合。順序も数えると該当数は $$1^3+1^3+2^3+3!\cdot1\cdot1\cdot2=22.$$ したがって確率は $\displaystyle \frac{22}{64}=\frac{11}{32}$。

(3) 各整数は数字1,2だけからなり、先頭に0もないので、できる異なる整数の個数はできる異なる数字列の個数と同じ。数字列の長さで分ける。

長さ3は3回とも一桁の数字を選ぶので $2^3=8$ 通り。 長さ4では一つだけ二桁のラベルを使う。長さ4の二進数字列は $16$ 個あり、許される二桁ラベルは $11,12$ なので、隣り合う位置のうち最初の3桁のどこかが1である必要がある。除かれるのは最初の3桁が全て2の2列だけだから、$16-2=14$ 通り。

長さ5では二桁ラベルを2つ使う。数字列を $d_1d_2d_3d_4d_5$ とすると、許される切り方は $(d_1d_2)(d_3d_4)d_5$、$(d_1d_2)d_3(d_4d_5)$、$d_1(d_2d_3)(d_4d_5)$ の3通りである。それぞれ二桁ラベルの先頭桁が1である条件は、順に $d_1=d_3=1$、$d_1=d_4=1$、$d_2=d_4=1$。各条件は8列、2条件の共通部分の個数は順に4,2,4、3条件全ての共通部分は2列なので、包除原理から $$8+8+8-4-2-4+2=16$$ 通り。

長さ6では3つとも二桁ラベルとなり、各ラベルは $11$ または $12$ なので $2^3=8$ 通り。長さが異なる列は別の整数だから、合計は $$8+14+16+8=46\text{通り}.$$