1金沢医科大学 2022年 1日目 数学 第1問解答・解説

金沢医科大学 2022年度 一般選抜（前期）1日目 数学 1

問題 ID: `MM-5d5d89721970-Q1`

各さいころは独立で、全 $6^3=216$ 通りが同様に確からしい。分子を $N=3^a-2^b$ とすると、$p=N/5^c$ である。$a,b$ に応じた分子は次のとおり。 $$\begin{array}{c|rrrrrr} a\backslash b&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&1&-1&-5&-13&-29&-61\\ 2&7&5&1&-7&-23&-55\\ 3&25&23&19&11&-5&-37\\ 4&79&77&73&65&49&17\\ 5&241&239&235&227&211&179\\ 6&727&725&721&713&697&665 \end{array}$$

(1) $p<0$ となる確率

分母は正なので、$p<0$ は $3^a<2^b$ と同値である。表より、負となる $(a,b)$ は $a=1$ の5組、$a=2$ の3組、$a=3$ の2組、合計10組。$c$ は6通りすべて可能なので $$\displaystyle \Pr(p<0)=\frac{10\cdot6}{216}=\boxed{\frac5{18}}.$$

(2) 整数値の最大・最小

整数となるには $N$ が $5^c$ で割り切れる必要がある。表にある分子のうち5の倍数は $$-55,-5,5,25,65,235,665,725.$$ このうち25の倍数は25と725だけで、どちらも125の倍数ではない。また625の倍数となる分子はなく、$|N|\le727<5^5$ である。従って、$c=1$ の候補値は $-11,-1,1,5,13,47,133,145$、$c=2$ の候補値は1と29で、それ以上の $c$ では整数にならない。最大は $145$、最小は $-11$。 $$\displaystyle \boxed{p_{\max}=145,\qquad p_{\min}=-11}.$$

(3) $p$ が正の整数となる確率

表から、正の分子で5の倍数の組 $(a,b)$ は $$(2,2),(3,1),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6)$$ の6組。したがって $c=1$ の場合が6通りである。25の倍数となる正の分子は25と725の2組なので、$c=2$ の場合が2通り。125の倍数となる正の分子はない。よって全216通り中8通りであり、 $$\displaystyle \Pr(p\text{ が正の整数})=\frac8{216}=\boxed{\frac1{27}}.$$

(4) $p<9$ となる確率

$c$ ごとに条件は $N<9\cdot5^c$ となる。表の36個の分子を数えると、$c=1$ では19個、$c=2$ では26個が条件を満たす。$c\ge3$ では上限 $9\cdot5^c\ge1125$ が全分子の最大値727を上回るため、各 $c=3,4,5,6$ で36個すべてが条件を満たす。したがって $$\displaystyle \Pr(p<9)=\frac{19+26+4\cdot36}{216} =\frac{189}{216} =\boxed{\frac78}.$$

**使用解法:** 全36組の分子の表による場合分け、素因数の割り切れ条件、順序付き標本点の計数。