3新潟大学 2021年 数学 第3問解答・解説

正五角形の頂点を辺に沿って5回進むと元の頂点に戻り、1回進むとAからBへ移る。さいころの出た目の積を $N$ とすれば、$P$ が $A$ にいる条件は $N\equiv0\pmod5$、$B$ にいる条件は $N\equiv1\pmod5$ である。

(1) $N$ が5の倍数となるのは、2回のうち少なくとも1回5が出るときである。よって$$\displaystyle P(A)=1-\left(\frac56\right)^2=\frac{11}{36}.$$ 目を5で割った余りは、1が2通り（目1,6）、2,3,4,0がそれぞれ1通りである。積が1となる余りの組は、(1,1)が4通り、(2,3),(3,2)が各1通り、(4,4)が1通りで、合計7通り。したがって$$\displaystyle P(B)=\frac7{36}.$$

(2) $k$ 回の積が5の倍数となるのは、いずれかの回で5が出るときに限る。独立性より$$\displaystyle P(A)=1-\left(\frac56\right)^k.$$

(3) $k$ 回の出目の積を$N_k$とし、$c_k=P(N_k\not\equiv0\pmod5)$ とおく。5が一度も出ない確率だから $c_k=(5/6)^k$。最後のさいころが1または6（余り1）なら、前の積が余り1である必要があり、その寄与は $b_k/3$。前の積が余り2,3,4なら、それぞれ最後の目が3,2,4であれば余り1となる。これらの目は各確率1/6で、前の積が余り2,3,4である確率の合計は $c_k-b_k$。従って$$\displaystyle b_{k+1}=\frac13b_k+\frac16(c_k-b_k)=\frac16b_k+\frac16\left(\frac56\right)^k.$$

(4) 1回でBにいるのは目1,6のときなので $b_1=1/3$、従って $f_1=6b_1=2$。(3)より$$f_{k+1}=6^{k+1}b_{k+1}=6^kb_k+5^k=f_k+5^k.$$ よって$$\displaystyle f_k=2+\sum\limits _{j=1}^{k-1}5^j=2+\frac{5^k-5}{4}=\frac{5^k+3}{4},\qquad b_k=\frac{f_k}{6^k}=\frac{5^k+3}{4\cdot6^k}.$$