7秋田大学 2020年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \text{(i)}\quad \text{和が偶数となるのは、3回の出目のうち奇数が0個または2個のとき。} \text{ 条件を満たす偶奇列は }1+\binom32=4\text{ 通りで、そのうち奇数が少なくとも1個ある列は }\binom32=3\text{ 通り。} \text{ 偶奇列は同確率なので、求める条件付き確率は }\frac34. \text{(ii)}\quad \text{積が4で割り切れないのは、2の因数が合計0個または1個のとき。} \text{ これは3回とも奇数の }3^3\text{ 通り、または }2,6\text{ のいずれかがちょうど1回で他が奇数の } \binom31\cdot2\cdot3^2\text{ 通り。} \text{ よって} 1-\frac{3^3+\binom31\cdot2\cdot3^2}{6^3} =1-\frac{81}{216}=\frac58. \text{(iii)}\quad m=x_2+x_3+x_4\text{ とおくと }m\ge3\text{ なので、右辺の指数 }2m\ge6. \text{ }x_1\text{ を固定したとき、積 }x_5x_6x_7\text{ を割り切るため各出目に許される値とその組数は次の通り。} \begin{array}{c|c|c} x_1&x_5,x_6,x_7\text{ の各出目の候補}&\text{組数}\\ \hline 1&\{1\}&1\\ 2&\{1,2,4\}&3^3=27\\ 3&\{1,3\}&2^3=8\\ 4&\{1,2,4\}&3^3=27\\ 5&\{1,5\}&2^3=8\\ 6&\{1,2,3,4,6\}&5^3=125 \end{array} \text{ これらの候補以外は右辺に含まれない素因数を持つ。候補内では、積に含まれる各素因数の指数は最大でも6であり、}2m\ge6\text{ なので割り切り条件を満たす。} \text{ ただし }x_1=1\text{ では右辺は1なので積も1でなければならない。} x_2,x_3,x_4\text{ はどの出目でもよく、} \begin{aligned} P&=\frac{6^3(1+27+8+27+8+125)}{6^7}\\ &=\frac{196}{6^4}=\frac{49}{324}. \end{aligned}$$