9秋田大学 2020年 数学 第9問解答・解説

(i) $$\displaystyle \frac{20}{27}=\frac{2}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{2}{3^3}=0.202_{(3)}.$$

(ii) 点付きの表示 $0.\dot{0}11\dot{0}_{(3)}$ の循環節は $0110$ である。循環節の整数値は $$(0110)_{(3)}=0\cdot3^3+1\cdot3^2+1\cdot3+0=12.$$ 一般に，$k$ 桁の循環節の整数値を $N$ とすると，$x=0.\overline{N}_{(3)}$ は $3^kx=N+x$ を満たすので，$x=N/(3^k-1)$ である。したがって $$\displaystyle 0.\overline{0110}_{(3)}=\frac{12}{3^4-1}=\frac{12}{80}=\frac{3}{20}.$$ よって，例えば $m=20,\ n=3$ とすればよい。

(iii) $n$ 桁の循環節 $00\cdots01$（$0$ が $n-1$ 個）の三進整数としての値は $1$ である。したがって $$y=0.\overline{\underbrace{00\cdots0}_{n-1}1}_{(3)}$$ とおくと，$3^ny=1+y$ より $y=1/(3^n-1)$ となる。求める数は $$\displaystyle \frac{1}{3^n-1}-\frac{1}{3^n} =\frac{1}{3^n(3^n-1)}=\frac{y}{3^n}.$$ 三進小数 $y$ の小数点を右へ $n$ 桁移すと，最初の $n$ 桁は $00\cdots0$ で，その後に同じ $n$ 桁の循環節 $00\cdots01$ が続く。最初の $1$ はこの循環節の末尾，すなわち小数第 $2n$ 位に現れる。

(iv) $$3^6=729\equiv1\pmod 7,\qquad 2020=6\cdot336+4,$$ より $3^{2020}\equiv3^4=81\equiv4\pmod7$ である。従って $3^{2020}/7$ の小数部分は $4/7$。 $$(120102)_{(3)}=1\cdot3^5+2\cdot3^4+1\cdot3^2+2=416, \qquad 3^6-1=728,$$ だから $$\displaystyle 0.\overline{120102}_{(3)}=\frac{416}{728}=\frac{4}{7}.$$ よって，求める小数部分は $0.\overline{120102}_{(3)}$ である。