2東京医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

第2問 解答

(1) $90$ から $96$ までの整数は、$91=7\cdot13,\ 93=3\cdot31,\ 95=5\cdot19$ および偶数で、すべて合成数である。一方、$97$ は $\sqrt{97}<10$ より、$2,3,5,7$ のいずれでも割り切れず素数である。したがって、$89$ の次の素数は $\boxed{97}$。

(2) $1008=2^4\cdot3^2\cdot7$ の正の約数の個数は $$n=(4+1)(2+1)(1+1)=30.$$ 大きい順の上位3個は $1008,\ 504,\ 336$ であるから $a_3=\boxed{336}$。各約数は正なので $a_k^0=1$ であり、$S(0)=\boxed{30}$。 約数和の積の公式（各素因数の指数の選択を独立に足し合わせる）から $$S(1)=(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2)(1+7) =31\cdot13\cdot8=3224=2^3\cdot13\cdot31.$$ したがって、素因数を大きい方から並べると $\boxed{31,\ 13,\ 2}$。 約数 $d$ に対し $1008/d$ も正の約数であり、 $$\displaystyle S(-1)=\sum\limits _{d\mid1008}\frac1d =\frac1{1008}\sum\limits _{d\mid1008}d =\frac{3224}{1008} =\boxed{\frac{403}{126}}.$$ 平方の和は同様に $$S(2)=(1+4+16+64+256)(1+9+81)(1+49) =341\cdot91\cdot50=1\,551\,550.$$ よって $$\displaystyle \frac{S(2)}{S(1)} =\frac{1\,551\,550}{3224} =\frac{1925}{4}$$ （分子・分母を $806=2\cdot13\cdot31$ で割った）。従って $\boxed{1925/4}$。

(3) $1/47$ の循環節は問題文のとおり $$C=0212765957446808510638297872340425531914893617$$ （46桁）である。筆算で $11/47$ を求めると、その循環節は $$D=2340425531914893617021276595744680851063829787$$ となる。これは、各桁について余りに10を掛けて47で割る筆算で得られ、46桁後に余り11へ戻るため繰り返す。5桁ずつ区切ると $$D=23404\ 25531\ 91489\ 36170\ 21276\ 59574\ 46808\ 51063\ 82978\ 7.$$ 従って周期46を用いて $$d_{32}=D_{32}=6,\quad d_{45}=D_{45}=8,\quad d_{79}=D_{79-46}=D_{33}=8,\quad d_{92}=D_{92-46}=D_{46}=7.$$ ゆえに $\boxed{d_{32}=6,\ d_{45}=8,\ d_{79}=8,\ d_{92}=7}$。