3東京医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

第3問 解答

点 $P(t,f(t))$ における法線の方向ベクトルは $(f'(t),-1)$ と取れる。法線上の点を $(t+s f'(t),\,f(t)-s)$ と表すと、$x$ 軸上では $s=f(t)$ だから、その交点の $x$ 座標は $t+f(t)f'(t)$ である。この式は $f'(t)=0$ の場合にも垂直な法線の交点 $x=t$ を与える。条件より $$t+f(t)f'(t)=6t^2+t-9\sqrt t, \qquad f(t)f'(t)=6t^2-9\sqrt t.$$ したがって、$t>0$ で $$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)^2=2f(t)f'(t)=12t^2-18\sqrt t,$$ ゆえにある定数 $C$ を用いて $$f(t)^2=4t^3-12t^{3/2}+C.$$ ここで $u=t^{3/2}$ と置くと、$u$ は正の実数全体を動き、右辺は $4u^2-12u+C$ である。左辺は常に $0$ 以上であり、交点 $(a,0)$ があるのでこの二次式は正の範囲で $0$ になる。その頂点 $u=3/2$ で最小値をとるため、その最小値が $0$ でなければならず、$C=9$。従って $$\displaystyle f(t)^2=4\left(t^{3/2}-\frac32\right)^2.$$ 零点はただ一つで、$a^{3/2}=3/2$。よって $$\displaystyle a^3=\left(\frac32\right)^2=\boxed{\frac94}.$$

$f(t)^2$ の導関数は上で求めたとおりなので、 $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(1+h)^2-f(1)^2}{h} =(f^2)'(1)=12-18=\boxed{-6}.$$

さらに $(a,0)$ での法線の傾きが正なら、その傾き $-1/f'(a)$ が正であるから $f'(a)<0$。$f$ は微分可能なので連続であり、$f(a)=0$ と $f'(a)<0$ から $a$ の左側で $f>0$、右側で $f<0$ となる。ほかに零点がないため各側で符号は変わらない。上の平方の式と合わせると、両側とも $$f(t)=3-2t^{3/2}$$ である。したがって $f(1)=1,\ f(4)=3-16=-13$ であり、 $$f(1)^2+f(1)=1+1=\boxed{2},\qquad f(4)^2+f(4)=(-13)^2-13=\boxed{156}.$$