1東京医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

第1問 解答

(1) $3+i=\sqrt{10}(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと、$0<\theta<\pi/2$ かつ $\tan\theta=1/3$ である。与えられた $\tan\eta=3$ より $\theta=\pi/2-\eta$。 $0.3975\pi<\eta<0.3976\pi$ だから $$397.5\pi<1000\eta<397.6\pi, \qquad \delta:=398\pi-1000\eta$$ とおけば $0.4\pi<\delta<0.5\pi$ となる。また $$1000\theta=500\pi-1000\eta=102\pi+\delta\equiv\delta\pmod{2\pi}.$$ したがって $$(3+i)^{1000}=10^{500}(\cos\delta+i\sin\delta), \quad a=10^{500}\cos\delta,\quad b=10^{500}\sin\delta.$$ $\pi/4<\delta<\pi/2$ より $0<a<b$ で、選択肢は $\boxed{\text{エ}=1}$（①）である。さらに $1<\sin\delta+\cos\delta\le\sqrt2<10$ なので $10^{500}<|a|+|b|<10^{501}$。二項定理から $a,b$ は整数であるから、$|a|+|b|$ は $501$ 桁の整数であり、$\boxed{\text{アイウ}=501}$。

(2) $A(\zeta)=0$ なら $\zeta^3=5\zeta-3$ である。恒等式 $$\displaystyle (x+3)\left(\frac{x^2}{9}-\frac{x}{3}+\frac49\right) =\frac{x^3-5x+12}{9} =1+\frac{A(x)}9$$ から、すべての根 $\zeta$ について $$\displaystyle \frac1{\zeta+3}=\frac19\zeta^2-\frac13\zeta+\frac49.$$ よって $\boxed{\text{オ}=1,\text{カ}=9,\text{キ}=1,\text{ク}=3,\text{ケ}=4,\text{コ}=9}$。

割る式を $x^2-3x+3$ とする。この式を法として $x^2=3x-3$ だから、$x^3=6x-9,\ x^4=9x-18$。よって $$Ax=x^4-5x^2+3x\equiv(9x-18)-5(3x-3)+3x=-3x-3,$$ したがって余りは $\boxed{-3x-3}$（$\boxed{\text{サシ}=-3,\text{ス}=3}$）。

また $$(x^2-3x+3)(x^2+6x+10) =x^4+3x^3-5x^2-12x+30 =21+A(x)(x+3)$$ である。したがって根 $\zeta$ に対して $$\displaystyle \frac{21}{\zeta^2-3\zeta+3}=\zeta^2+6\zeta+10,$$ ゆえに $\boxed{\text{セソ}=21,\text{タ}=6,\text{チツ}=10}$。