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北里大学／2017年度／一般

北里大学 2017年 数学 第1問解答・解説

いろいろな式三角関数微分・積分の考え図形と方程式数列平面上の曲線と複素数平面

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1問題

北里大学2017年度第1問

次の各文の □\square にあてはまる答を求めよ。

(1) a,ba,b を定数とする。整式 x3−4x2+ax+bx^{3}-4x^{2}+ax+b を (x−1)2(x-1)^{2} で割った余りが1であるとき，aa の値は □\square（ア），bb の値は □\square（イ）である。

(2) x=sin⁡θ+cos⁡θ, y=sin⁡3θ+cos⁡3θ+3sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)+6sin⁡θcos⁡θ−9(sin⁡θ+cos⁡θ)x=\sin\theta+\cos\theta,\ y=\sin^{3}\theta+\cos^{3}\theta+3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)+6\sin\theta\cos\theta-9(\sin\theta+\cos\theta) とおく。π4≦θ≦π\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\pi のとき，xx のとり得る値の範囲は □\square（ウ）であり，yy を xx を用いて表すと y=□y=\square（エ）となる。さらにこのとき，yy のとり得る値の範囲は □\square（オ）である。

(3) 3点 A(−3,6),B(5,0),C(4,7)A(-3,6),B(5,0),C(4,7) を通る円の中心の座標は □\square（カ）であり，半径は □\square（キ）である。この円と直線 y=2x+ky=2x+k の共有点の個数が2個であるとき，定数 kk のとり得る値の範囲は □\square（ク）である。

(4) ボタンを押すたびに「あたり」か「はずれ」のいずれか一方だけを画面に表示する機械があり，この機械は以下の規則に従って動く。

規則1. 1回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率は 23\displaystyle \frac{2}{3} である。

規則2. ボタンを押して「あたり」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は 23\displaystyle \frac{2}{3} である。また，ボタンを押して「はずれ」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は 16\displaystyle \frac{1}{6} である。

各自然数 nn に対して，nn 回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率を ana_{n} とする。このとき，a1=23, a2=□\displaystyle a_{1}=\frac{2}{3},\ a_{2}=\square（ケ），a3=□a_{3}=\square（コ）であり，数列 {an}\{a_{n}\} の一般項は an=□a_{n}=\square（サ）である。

(5) 実部が正で虚部が負である複素数 zz が z4=−8+83iz^{4}=-8+8\sqrt{3}i を満たすとする。このとき，z4z^{4} を極形式で表すと z4=□z^{4}=\square（シ）であり，zz の値は □\square（ス）である。2つの複素数 0,z0,z を表す複素数平面上の点をそれぞれ O,AO,A とし，線分 OAOA の中点を表す複素数を ww とおくとき，w2017+(w‾)2017w^{2017}+(\overline{w})^{2017} の値は □\square（セ）である。また，1+z+z2+z3+z41+z+z^{2}+z^{3}+z^{4} の値は □\square（ソ）である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) ア 5, イ −1.-1.\quad (2) ウ −1≦x≦2, -1\leq x\leq\sqrt{2},\space{} エ x3+3x2−9x−3, x^{3}+3x^{2}-9x-3,\space{} オ −8≦y≦8.-8\leq y\leq 8.\quad (3) カ (1,3), キ 5, 1−55<k<1+55.5,\space{}1-5\sqrt{5}<k<1+5\sqrt{5}.\quad (4) ケ 12, \displaystyle \frac12,\space{} コ 512, \displaystyle \frac5{12},\space{} サ an=13+13⋅2n−1.\displaystyle a_n=\frac13+\frac{1}{3\cdot 2^{n-1}}.\quad (5) シ 16(cos⁡2π3+isin⁡2π3), \displaystyle 16\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right),\space{} ス 1−3i, 1-\sqrt3 i,\space{} セ 1, ソ −16+53i.-16+5\sqrt3 i.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 整式を F(x)=x3−4x2+ax+bF(x)=x^{3}-4x^{2}+ax+b とおく。余りが1であることは、F(x)−1F(x)-1 が (x−1)2(x-1)^2 で割り切れることと同値である。t=x−1t=x-1 とおくと、F(x)−1=t3−t2+(a−5)t+(a+b−4).F(x)-1=t^{3}-t^{2}+(a-5)t+(a+b-4).これが t2t^{2} で割り切れるためには定数項と tt の係数がともに0でなければならない。よって a=5, b=−1a=5,\ b=-1 である。

(2) x=sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)\displaystyle x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\theta+\frac{\pi}{4}) であり、π2≦θ+π4≦5π4\displaystyle \frac{\pi}{2}\le\theta+\frac{\pi}{4}\le\frac{5\pi}{4} である。正弦のグラフから −1≦x≦2-1\leq x\leq\sqrt2 である。また sin⁡3θ+cos⁡3θ=x3−3xsin⁡θcos⁡θ\sin^3\theta+\cos^3\theta=x^3-3x\sin\theta\cos\theta なので、与式の最初の三項は x3x^3 となる。さらに x2=1+2sin⁡θcos⁡θx^2=1+2\sin\theta\cos\theta より sin⁡θcos⁡θ=x2−12\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{x^2-1}{2} であるから、y=x3+3x2−9x−3.y=x^3+3x^2-9x-3.この関数の導関数は y′=3(x+3)(x−1)y'=3(x+3)(x-1) である。−1≦x≦2-1\le x\le\sqrt2 の範囲では x+3>0x+3>0 だから、関数は −1≦x≦1-1\le x\le1 で減少し、1≦x≦21\le x\le\sqrt2 で増加する。したがって最小値は y(1)=−8y(1)=-8。端点では y(−1)=8y(-1)=8、y(2)=3−72y(\sqrt2)=3-7\sqrt2 であり、3−72>−83-7\sqrt2>-8（11>7211>7\sqrt2）だから最大値は8である。よって −8≦y≦8-8\leq y\leq8。

(3) 円の中心を (u,v)(u,v) とする。中心から A,B,CA,B,C までの距離が等しいことから、(u+3)2+(v−6)2=(u−5)2+v2,(u−5)2+v2=(u−4)2+(v−7)2.(u+3)^2+(v-6)^2=(u-5)^2+v^2,\qquad (u-5)^2+v^2=(u-4)^2+(v-7)^2.整理すると 4u−3v+5=0, −u+7v−20=04u-3v+5=0,\ -u+7v-20=0 となり、(u,v)=(1,3)(u,v)=(1,3) を得る。半径は BB までの距離だから (5−1)2+(0−3)2=5\sqrt{(5-1)^2+(0-3)^2}=5 である。直線 y=2x+ky=2x+k を 2x−y+k=02x-y+k=0 と書くと、中心 (1,3)(1,3) からこの直線までの距離は ∣k−1∣5\displaystyle \frac{|k-1|}{\sqrt5}。円と直線が共有点を2個もつ条件はこの距離が半径5より小さいことであるから、1−55<k<1+551-5\sqrt5<k<1+5\sqrt5。

(4) nn 回目の結果が「あたり」である確率を ana_n とすると、全確率の公式より an+1=23an+16(1−an)=12an+16.\displaystyle a_{n+1}=\frac23a_n+\frac16(1-a_n)=\frac12a_n+\frac16.したがって a2=12\displaystyle a_2=\frac12、a3=512\displaystyle a_3=\frac5{12} である。さらに an+1−13=12(an−13)\displaystyle a_{n+1}-\frac13=\frac12(a_n-\frac13) であり、a1−13=13\displaystyle a_1-\frac13=\frac13 だから、an−13=13⋅2n−1,an=13+13⋅2n−1.\displaystyle a_n-\frac13=\frac{1}{3\cdot2^{n-1}},\qquad a_n=\frac13+\frac{1}{3\cdot2^{n-1}}.

(5) −8+83i-8+8\sqrt3 i の絶対値は16で、偏角は 2π3\displaystyle \frac{2\pi}{3} だから、z4=16(cos⁡2π3+isin⁡2π3).\displaystyle z^4=16\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).この4乗根は z=2(cos⁡(π6+mπ2)+isin⁡(π6+mπ2)) (m=0,1,2,3)\displaystyle z=2(\cos(\frac{\pi}{6}+\frac{m\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{m\pi}{2}))\ (m=0,1,2,3) である。実部が正で虚部が負となるのは偏角 5π3\displaystyle \frac{5\pi}{3} の場合に限るので、z=1−3iz=1-\sqrt3 i。中点を表す複素数は w=z2=12−32i\displaystyle w=\frac z2=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i である。よって w2017+w‾2017=2cos⁡2017π3=1\displaystyle w^{2017}+\overline{w}^{2017}=2\cos\frac{2017\pi}{3}=1（2017≡1(mod6)2017\equiv1\pmod6）。また z2=−2−23i, z3=−8z^2=-2-2\sqrt3 i,\ z^3=-8 なので、1+z+z2+z3+z4=−16+53i.1+z+z^2+z^3+z^4=-16+5\sqrt3 i.

この問題で使う考え方

  • 剰余・因数定理
  • 三角関数の周期・グラフ
  • 三角関数の相互関係
  • 多項式の導関数
  • 極大・極小
  • 円の方程式
  • 座標による距離
  • 直線の方程式

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