3北里大学 2017年 数学 第3問解答・解説

恒等式 $\displaystyle |u+v|+|u-v|=2\max(|u|,|v|)$ を用いる。$y>0$ であるから、$y\geq\sqrt3|x|$ のとき絶対値の和は $2y$、$y\leq\sqrt3|x|$ のときは $2\sqrt3|x|$ となる。 (1) 前者の領域では $$x^2+(y-1)^2=1,\qquad y\geq\sqrt3|x|.$$円の式から $x^2=y(2-y)$ であり、$y>0$ と領域条件を合わせると $y^2\geq3y(2-y)$、したがって $\displaystyle \frac32\leq y\leq2$ となる。これは中心 $(0,1)$、半径1の円の上側の弧で、端点は $\displaystyle (\pm\frac{\sqrt3}{2},\frac32)$、頂点は $(0,2)$ である。

後者の領域では $$(|x|-\sqrt3)^2+y^2=3,\qquad 0<y\leq\sqrt3|x|.$$これは中心 $(\pm\sqrt3,0)$、半径 $\sqrt3$ の左右の円の一部である。水平線 $y=t$（$0<t<\sqrt3$）との交点候補は $$|x|=\sqrt3+\sqrt{3-t^2},\qquad |x|=\sqrt3-\sqrt{3-t^2}.$$前者は常に領域条件を満たす。後者が満たす条件は $t\leq\sqrt3(\sqrt3-\sqrt{3-t^2})$ であり、両辺を平方して整理すると $\displaystyle t\geq\frac32$ と同値である。また、中央の円弧は $\displaystyle \frac32\leq t\leq2$ で水平線と交わり、交点は $x=\pm\sqrt{t(2-t)}$ である。したがって $\displaystyle \frac32<t<\sqrt3$ のとき、中央の円弧と左右の円弧から各2点ずつ、合計6点を得る。$\displaystyle t=\frac32$ では中央と左右の内側の交点が端点で重なり、$t=\sqrt3$ では左右の円で2枝が合流するため、いずれも6点ではない。範囲外では交点数は6未満となる。よって $$\displaystyle \frac32<b<\sqrt3.$$この概形は中央の上側の円弧と、それぞれの端点から外側へ伸びる左右の円弧（$(\pm\sqrt3,\sqrt3)$ を通り、$x$ 軸に近づく部分）である。 (2) $\displaystyle c=\frac{2b-3}{\sqrt3}$、$\displaystyle d=\frac{3-b^2}{2\sqrt3 b}$ とおく。どちらも $\displaystyle \frac32<b<\sqrt3$ では正である。中央の円と直線 $y=ax+b$ の交点は $$x^2+(ax+b-1)^2=1$$ の解である。この二次方程式の判別式は $4\{1+a^2-(b-1)^2\}>0$ なので、直線は円全体とは常に2点で交わる。中央の円弧の端点 $\displaystyle (\pm\frac{\sqrt3}{2},\frac32)$ を通る直線の傾きはそれぞれ $c,-c$ である。したがって中央の弧上に交点が2個ある条件は $-c<a<c$ である。

右の円については $$(x-\sqrt3)^2+(ax+b)^2=3$$ となり、判別式は $4(3-b^2-2\sqrt3ab)$ である。円全体との交点が異なる2個である条件は $a<d$。さらに、傾きを減らしていくと内側の交点が端点 $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},\frac32)$ に達するのは $a=-c$ のときである。もう一方の端点 $(2\sqrt3,0)$ を通る傾きは $\displaystyle -\frac{b}{2\sqrt3}$ であり、$b<2$ より $\displaystyle -\frac{b}{2\sqrt3}<-c$ だから、$y>0$ の端に達する前にこの端点を通る。よって右の円弧上に交点が2個ある条件は $-c<a<d$ である。左右対称性から、左の円弧上に交点が2個ある条件は $-d<a<c$。以上より、6個の共有点をもつ条件は $$\displaystyle \max(-c,-d)<a<\min(c,d),$$すなわち $$\displaystyle f(b)=-\min(c,d),\qquad g(b)=\min(c,d).$$したがって $$\displaystyle g(b)-f(b)=2\min\left(\frac{2b-3}{\sqrt3},\frac{3-b^2}{2\sqrt3 b}\right).$$第1項は $b$ とともに増加し、第2項は $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt3}(\frac3b-b)$ と書けるので減少する。両者が等しいとき最小値は最大となる。等式を解くと $$\displaystyle \frac{2b-3}{\sqrt3}=\frac{3-b^2}{2\sqrt3 b}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad5b^2-6b-3=0.$$この範囲にある解は $\displaystyle b=\frac{3+2\sqrt6}{5}$ である。よって、このとき $g(b)-f(b)$ が最大となる。

(1)の曲線 $C$。青線は中央の円弧と左右の円弧で、$x$ 軸上の白丸は $y>0$ により除外。破線は $\displaystyle \frac32<b<\sqrt3$ の水平線の例。