3琉球大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とおく。条件により $z\ne0$ である。また $$\displaystyle z+\frac3z=x+iy+\frac{3(x-iy)}{x^2+y^2}$$ だから、その虚部が $0$ となる条件は $$\displaystyle y\left(1-\frac3{x^2+y^2}\right)=0.$$ 従って $y=0$ または $x^2+y^2=3$ のいずれかである。

$y=0$ の場合は $z=x$（$x\ne0$）で、$3\le x+3/x\le4$ を満たす必要がある。$x<0$ なら値は負なので不適。$x>0$ では $x+3/x\ge2\sqrt3>3$ だから下限は自動的に満たされ、上限条件は $$\displaystyle x+\frac3x\le4\text{であるための必要十分条件は}(x-1)(x-3)\le0\text{、すなわち}1\le x\le3.$$ よって実軸上の $1\le x\le3$ の線分 が得られる。

次に $y\ne0$ の場合は $x^2+y^2=3$ であり、$3/z=\overline z$ だから $z+3/z=2x$。条件は $3/2\le x\le2$ となる。円 $x^2+y^2=3$ 上では $x\le\sqrt3<2$ なので、これは $3/2\le x\le\sqrt3$ に限られる。従って原点中心、半径 $\sqrt3$ の円のうち、直線 $x=3/2$ より右側の上下の弧（右端 $(\sqrt3,0)$ を含む）である。求める範囲は $$\boxed{\begin{gathered}y=0,\ 1\le x\le3\quad\text{または}\\x^2+y^2=3,\ 3/2\le x\le\sqrt3\end{gathered}}.$$

青い線分と円弧が求める範囲で、丸を付けた各端点も含む。

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とおく。条件により $z\ne0$ である。また $$\displaystyle z+\frac3z=x+iy+\frac{3(x-iy)}{x^2+y^2}$$ だから、その虚部が $0$ となる条件は $$\displaystyle y\left(1-\frac3{x^2+y^2}\right)=0.$$ 従って $y=0$ または $x^2+y^2=3$ のいずれかである。

$y=0$ の場合は $z=x$（$x\ne0$）で、$3\le x+3/x\le4$ を満たす必要がある。$x<0$ なら値は負なので不適。$x>0$ では $x+3/x\ge2\sqrt3>3$ だから下限は自動的に満たされ、上限条件は $$\displaystyle x+\frac3x\le4\text{であるための必要十分条件は}(x-1)(x-3)\le0\text{、すなわち}1\le x\le3.$$ よって実軸上の $1\le x\le3$ の線分 が得られる。

次に $y\ne0$ の場合は $x^2+y^2=3$ であり、$3/z=\overline z$ だから $z+3/z=2x$。条件は $3/2\le x\le2$ となる。円 $x^2+y^2=3$ 上では $x\le\sqrt3<2$ なので、これは $3/2\le x\le\sqrt3$ に限られる。従って原点中心、半径 $\sqrt3$ の円のうち、直線 $x=3/2$ より右側の上下の弧（右端 $(\sqrt3,0)$ を含む）である。求める範囲は $$\boxed{\begin{gathered}y=0,\ 1\le x\le3\quad\text{または}\\x^2+y^2=3,\ 3/2\le x\le\sqrt3\end{gathered}}.$$