1高知大学 2017年 数学 第1問解答・解説

曲線は $C:x^2+3y^2=4$、点は $P=(1,1)$。傾き $m$ の直線を $\ell_m:y=m(x-1)+1$ とする。代入すると $$(1+3m^2)x^2+6m(1-m)x+3m^2-6m-1=0.$$ 一つの根は常に $x=1$ なので、もう一つは $$\displaystyle a_m=\frac{3m^2-6m-1}{3m^2+1},\qquad b_m=m(a_m-1)+1=\frac{-3m^2-2m+1}{3m^2+1}.$$ (1) 接する場合は $a_m=1$。この式から $-6m-1=1$、すなわち $m=-1/3$。したがって接線は $$\displaystyle y-1=-\frac13(x-1),\qquad \boxed{x+3y=4}.$$ (2) 上の $(a_m,b_m)$ が求める座標であり、$m=-1/3$ でも $(a_m,b_m)=(1,1)=P$ となる。

(3) $m$ が有理数なら分母 $3m^2+1>0$ なので $a_m,b_m$ はともに有理数である。 (4) $a_m,b_m$ はともに有理数とする。$Q_m$ は $\ell_m$ 上にあるから $$b_m-1=m(a_m-1).$$ $a_m\ne1$ なら $m=(b_m-1)/(a_m-1)$ は有理数である。$a_m=1$ なら上式の $a_m$ の式から $m=-1/3$ は有理数である。よっていずれの場合も $m$ は有理数である。