2高知大学 2017年 数学 第2問解答・解説

まず一般項を整理する。すべての自然数 $n$ に対して $$a_n^2=4^n+2^{n+1}+29>0$$ であり，$a_n>0$ であるから，$a_n$ は正の実数として一意に定まる。

(1) $n=1$：$a_1^2=4^1+2^2+29=4+4+29=37$ であり，$6^2=36<37<49=7^2$ であるから $$6<a_1<7,\qquad [a_1]=6.$$ $n=2$：$a_2^2=4^2+2^3+29=16+8+29=53$ であり，$7^2=49<53<64=8^2$ であるから $$7<a_2<8,\qquad [a_2]=7.$$ $n=3$：$a_3^2=4^3+2^4+29=64+16+29=109$ であり，$10^2=100<109<121=11^2$ であるから $$10<a_3<11,\qquad [a_3]=10.$$

(2) $n\geq4$ を満たす整数 $n$ を任意にとる。$(2^n+1)^2$ と $a_n^2$ の差を計算すると $$(2^n+1)^2=4^n+2\cdot2^n+1=4^n+2^{n+1}+1$$ より $$a_n^2-(2^n+1)^2=(4^n+2^{n+1}+29)-(4^n+2^{n+1}+1)=28>0.$$ $a_n>0,\ 2^n+1>0$ であるから，これは $$a_n>2^n+1 \tag{i}$$ を意味する。

次に $(2^n+2)^2$ との差を計算すると $$(2^n+2)^2=4^n+4\cdot2^n+4=4^n+2^{n+2}+4$$ より $$(2^n+2)^2-a_n^2=(4^n+2^{n+2}+4)-(4^n+2^{n+1}+29)=2^{n+2}-2^{n+1}-25=2^{n+1}-25.$$ $n\geq4$ のとき $2^{n+1}\geq2^5=32>25$ であるから，$2^{n+1}-25>0$，すなわち $$a_n<2^n+2. \tag{ii}$$ (i)，(ii) より，$n\geq4$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $$2^n+1<a_n<2^n+2$$ が成り立つ。$2^n+1$ は整数であるから，これは $a_n$ を超えない最大の整数が $2^n+1$ であることを示す。よって $$[a_n]=2^n+1\quad(n\geq4).$$ （注：$n=1,2,3$ では $2^{n+1}-25\leq0$ となり (ii) が成り立たないため，この評価は $n\geq4$ に限られる。実際 (1) の値 $[a_1]=6,[a_2]=7,[a_3]=10$ は $2^n+1$（$n=1,2,3$ でそれぞれ $3,5,9$）とは一致しない。）

(3) (2) より $n\geq4$ のとき $[a_n]=2^n+1$ であるから $$\langle a_n\rangle=a_n-[a_n]=a_n-(2^n+1).$$ 分子の有理化と同様の変形により $$\displaystyle \langle a_n\rangle=a_n-(2^n+1)=\frac{a_n^2-(2^n+1)^2}{a_n+(2^n+1)}=\frac{28}{a_n+2^n+1}\quad(n\geq4).$$ (2) の (i) より $a_n>2^n+1$ であるから，分母について $$a_n+2^n+1>2(2^n+1)=2^{n+1}+2$$ が成り立つ。ゆえに $n\geq4$ のとき $$\displaystyle 0<\langle a_n\rangle=\frac{28}{a_n+2^n+1}<\frac{28}{2^{n+1}+2}.$$ $n\to\infty$ のとき $2^{n+1}+2\to\infty$ であるから $\displaystyle \dfrac{28}{2^{n+1}+2}\to0$ となる。はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\langle a_n\rangle=0.$$

(4) (3) の計算より，$n\geq4$ のとき $$\displaystyle \langle a_n\rangle=\frac{28}{D_n},\qquad D_n:=a_n+2^n+1.$$ (2) の (i)，(ii) より $2^n+1<a_n<2^n+2$ であるから $$2^{n+1}+2<D_n<2^{n+1}+3. \tag{iii}$$ $D_n>0$ であるから $$\displaystyle \langle a_n\rangle\leq\frac18 \text{すなわち} \frac{28}{D_n}\leq\frac18 \text{すなわち} D_n\geq224.$$ (iii) を用いて，$n$ の値ごとに判定する。

(i) $4\leq n\leq6$ のとき： $2^{n+1}\leq2^7=128$ であるから，(iii) より $$D_n<2^{n+1}+3\leq128+3=131<224.$$ したがって $D_n<224$ となり，$\displaystyle \langle a_n\rangle>\dfrac18$ である。すなわち $n=4,5,6$ は条件を満たさない。

(ii) $n\geq7$ のとき： $2^{n+1}\geq2^8=256$ であるから，(iii) より $$D_n>2^{n+1}+2\geq256+2=258>224.$$ したがって $D_n>224$ となり，$\displaystyle \langle a_n\rangle<\dfrac18$ である。すなわち $n\geq7$ を満たすすべての整数 $n$ は条件 $\displaystyle \langle a_n\rangle\leq\dfrac18$ を満たす。

(i)，(ii) で $n\geq4$ の場合をすべて尽くしている（$2^{n+1}$ は $n=6$ で $128$，$n=7$ で $256$ と単調に増加し，$224$ をまたぐ境目に一致する整数 $n$ の抜けはない）ので，求める $n$ は $$n=7,8,9,\ldots$$ すなわち $n\geq7$ を満たすすべての整数である。

検算 (2)：$n=4$ で $a_4^2=4^4+2^5+29=256+32+29=317$，$(2^4+1)^2=17^2=289$，$(2^4+2)^2=18^2=324$。$289<317<324$ で $[a_4]=17=2^4+1$ と一致。

(4)：$n=7$ で $a_7^2=4^7+2^8+29=16384+256+29=16669$，$129^2=16641<16669<16900=130^2$ より $[a_7]=129=2^7+1$。$D_7=a_7+129$ で $a_7=\sqrt{16669}\approx129.11$ より $D_7\approx258.11$，$\displaystyle \langle a_7\rangle=28/D_7\approx0.1085\leq0.125=\frac18$ で条件を満たす。

$n=6$ で $a_6^2=4^6+2^7+29=4096+128+29=4253$，$65^2=4225<4253<4356=66^2$ より $[a_6]=65$。$a_6=\sqrt{4253}\approx65.21$，$D_6\approx130.21$，$\langle a_6\rangle=28/D_6\approx0.215>0.125$ で条件を満たさない。以上，境界 $n=6,7$ の直接計算は上の一般論と整合する。

a_n^2=4^n+2^{n+1}+29 を $(2^n+1)^2$, $(2^n+2)^2$ と比較して a_n を2つの整数の間に挟み、n$\geq$4 で $[a_n]=2^n+1$ を示す。この評価から $\langle$ a_n$\rangle$=28/(a_n+2^n+1) という有理化した式を得て、n$\to$$\infty$ での極限をはさみうちで求め、$\langle$ a_n$\rangle$$\leq$1/8 を分母の評価に帰着させて満たすnの範囲を決定した。