6愛媛大学 2019年 数学 第6問解答・解説

(1) $x\geq1$ では $|x-1|=x-1$ だから $$x^2-4x-4\leq-2(x-1)\quad\text{すなわち}\quad x^2-2x-6\leq0.$$ この二次式の根は $1\pm\sqrt7$ なので、条件 $x\geq1$ と合わせて $1\leq x\leq1+\sqrt7$ を得る。

$x<1$ では $|x-1|=1-x$ だから $$x^2-4x-4\leq-2(1-x)\quad\text{すなわち}\quad x^2-6x-2\leq0.$$ 根は $3\pm\sqrt{11}$ であり、条件 $x<1$ と合わせると $3-\sqrt{11}\leq x<1$ である。以上より $$\boxed{3-\sqrt{11}\leq x\leq1+\sqrt7}.$$

(2) $x>1$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\log x}\cdot\frac1x=\frac{1}{x\log x}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{f'(e^2)=\frac{1}{2e^2}}.$$

(3) 和を $n$ で割ると $$\displaystyle \frac{S_n}{n}=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac{k}{n}e^{k/n}\right).$$ これは連続関数 $xe^x$ について0≦x≦1をn等分し、各区間の右端の値を用いた区分求積の和なので、極限は $$\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=\left[(x-1)e^x\right]_0^1=1.$$ よって $\boxed{1}$。

(4) 分子を有理化すると、$x\ne0$ に対して $$\displaystyle \frac{\sqrt{3-2x}-\sqrt{3+2x}}{x} =\frac{(3-2x)-(3+2x)}{x\left(\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+2x}\right)} =\frac{-4}{\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+2x}}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{-\frac{2}{\sqrt3}}.$$