7愛媛大学 2019年 数学 第7問解答・解説

(1) $f(x)=\sin x-\sin^{2}x$ を微分する。$(\sin x)'=\cos x$、また合成関数の微分により $(\sin^{2}x)'=2\sin x\cos x$ であるから $$f'(x)=\cos x-2\sin x\cos x=\cos x(1-2\sin x).$$

(2) $\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\ge0$（等号は $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ のときに限る）。また $\sin x$ はこの区間で単調増加し、$1-2\sin x=0$ となるのは $\displaystyle \sin x=\dfrac12$、すなわち $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$ のときである。したがって $$\displaystyle 0\le x<\frac{\pi}{6}\ \quad\text{ならば}\quad\ \sin x<\frac12\ \quad\text{ならば}\quad\ 1-2\sin x>0,\qquad \frac{\pi}{6}<x\le\frac{\pi}{2}\ \quad\text{ならば}\quad\ \sin x>\frac12\ \quad\text{ならば}\quad\ 1-2\sin x<0 .$$ $\cos x>0$（$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ を除く）と合わせると、増減表は次のようになる。 $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \pi/6 & \cdots & \pi/2\\ \hline f'(x) & + & + & 0 & - & 0\\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 1/4 & \searrow & 0 \end{array}$$ ここで $f(0)=\sin0-\sin^{2}0=0$, $\displaystyle f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$, $\displaystyle f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1-1=0$ である。 よって $f(x)$ は $\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{6}$ で単調増加し、$\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ で単調減少する。$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$ で最大値 $\displaystyle \dfrac14$ をとる。

(3) まず、$\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ では $0\le\sin x\le1$ であるから $$\sin x-\sin^{2}x=\sin x(1-\sin x)\ge0$$ が常に成り立ち、等号は $\sin x=0$（$x=0$）または $\sin x=1$（$x=\pi/2$）のときに限る。これは(2)で調べた $f(x)\ge0$ と一致する。したがって $\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ 全体で曲線 $y=\sin x$ は曲線 $y=\sin^{2}x$ 以上にあり、$D$ はこの区間で2曲線に挟まれた図形である。

(i) $$\displaystyle S=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin x-\sin^{2}x\bigr)\,dx .$$ $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2}=0-(-1)=1 .$$ 半角公式 $\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ より $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.$$ よって $$\displaystyle S=1-\frac{\pi}{4}.$$

(ii) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転させると、各 $x$ における断面は外径 $\sin x$、内径 $\sin^{2}x$（$\ge0$）の円環であるから、ワッシャー法（輪切り）により $$\displaystyle V=\pi\int_{0}^{\pi/2}\Bigl[(\sin x)^{2}-(\sin^{2}x)^{2}\Bigr]dx=\pi\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin^{2}x-\sin^{4}x\bigr)\,dx .$$ 二倍角の公式を2回用いて次数を下げる。$\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ より $$\displaystyle \sin^{4}x=\left(\frac{1-\cos2x}{2}\right)^{2}=\frac{1-2\cos2x+\cos^{2}2x}{4} =\frac{1-2\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}}{4} =\frac{3-4\cos2x+\cos4x}{8}.$$ したがって $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}x\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\frac{3-4\cos2x+\cos4x}{8}\,dx =\left[\frac{3x}{8}-\frac{\sin2x}{4}+\frac{\sin4x}{32}\right]_{0}^{\pi/2} =\frac{3\pi}{16}-0+0=\frac{3\pi}{16}.$$ 先に求めた $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{16}$ と合わせて $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin^{2}x-\sin^{4}x\bigr)dx=\frac{4\pi}{16}-\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi}{16}.$$ よって $$\displaystyle V=\pi\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi^{2}}{16}.$$

検算 $\displaystyle S=1-\dfrac{\pi}{4}\approx0.2146$、$\displaystyle V=\dfrac{\pi^{2}}{16}\approx0.6169$ は、区間を6等分したシンプソン則による数値積分の近似値（それぞれ約 $0.2146$、約 $0.1964\times\pi\approx0.6170$ 相当）とよく一致する。また $f(0)=f(\pi/2)=0$、$\displaystyle f(\pi/6)=\dfrac14$ が最大値であることは(2)の増減表と整合しており、$\displaystyle 0\le S<\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac14$ 程度、$0\le V$ という大きさの見積もりとも矛盾しない。