5岐阜大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) 積の微分を用いると $$f'(x)=e^{-2x}\{-2(\cos x-3\sin x)-\sin x-3\cos x\} =5e^{-2x}(\sin x-\cos x).$$ 区間内の停留点は $x=\pi/4,5\pi/4$ であり、$f'$ の符号は順に負、正、負である。端点と停留点での値は $$f(0)=1,\quad f(2\pi)=e^{-4\pi},\quad f(\pi/4)=-\sqrt2e^{-\pi/2},\quad f(5\pi/4)=\sqrt2e^{-5\pi/2}.$$ $e^{-4\pi}<1$ かつ $\sqrt2e^{-5\pi/2}<1$ なので、最大値は $x=0$ で $1$ である（$5\pi/2>1/2$、$e>2$ より $e^{5\pi/2}>\sqrt2$）。最小値は $x=\pi/4$ で $-\sqrt2e^{-\pi/2}$ である。

(2) $$\displaystyle F(x)=\frac{e^{-2x}(\cos x+7\sin x)}5$$ とおくと、微分して $F'(x)=e^{-2x}(\cos x-3\sin x)=f(x)$ を得る。よって $$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\,dx =F(2\pi)-F(0) =\boxed{\frac{e^{-4\pi}-1}{5}}.$$