4宮崎大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) 交点では $C_1,C_2$ の両方の式が成り立つから、$\displaystyle y^2=1-\frac{x^2}{9}=\frac{x^2}{3}-2$ である。したがって $\displaystyle 3=\frac{4x^2}{9}$、すなわち $\displaystyle x^2=\frac{27}{4}$。$C_2$ の条件 $x>0$ より $\displaystyle x=\frac{3\sqrt3}{2}$ であり、$\displaystyle y^2=1-\frac{27}{36}=\frac14$。$C_1$ の条件 $y\ge0$ より $\displaystyle y=\frac12$ である。よって $\displaystyle G\left(\frac{3\sqrt3}{2},\frac12\right)$。

(2) 定義域は $x^2-6\ge0$、すなわち $|x|\ge\sqrt6$ である。$|x|>\sqrt6$ として $q=\sqrt{x^2-6}$ とおくと、$\displaystyle q'=\frac{x}{q}$。また $u=x+q$ とおけば $\displaystyle u'=1+\frac{x}{q}=\frac{x+q}{q}=\frac{u}{q}$ なので、$\displaystyle \frac{d}{dx}\log|u|=\frac{u'}{u}=\frac1q$ である。よって $$\displaystyle f'(x)=q+\frac{x^2}{q}-\frac6q=\frac{2x^2-12}{q}=2q=2\sqrt{x^2-6}.$$

(3) $E=(0,1)$、$F=(\sqrt6,0)$、$\displaystyle G=(\frac{3\sqrt3}{2},\frac12)$ である。面積は、$x=0$ から $\displaystyle x=\frac{3\sqrt3}{2}$ までの楕円の下側の面積から、$x=\sqrt6$ から $\displaystyle x=\frac{3\sqrt3}{2}$ までの双曲線の下側の面積を引けばよい。したがって $$\displaystyle S=\int_0^{3\sqrt3/2}\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\,dx-\frac1{\sqrt3}\int_{\sqrt6}^{3\sqrt3/2}\sqrt{x^2-6}\,dx.$$ まず第1項で $x=3\sin t$ とおくと、積分区間は $\displaystyle 0\le t\le\frac\pi3$ となり、 $$\displaystyle \int_0^{3\sqrt3/2}\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\,dx=3\int_0^{\pi/3}\cos^2t\,dt=\frac32\left[t+\sin t\cos t\right]_0^{\pi/3}=\frac\pi2+\frac{3\sqrt3}{8}.$$ (2)の導関数を用いると、 $$\displaystyle \frac1{\sqrt3}\int_{\sqrt6}^{3\sqrt3/2}\sqrt{x^2-6}\,dx=\frac1{2\sqrt3}\left[f\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)-f(\sqrt6)\right].$$ ここで $\displaystyle f(\frac{3\sqrt3}{2})=\frac94-6\log(2\sqrt3)$、$f(\sqrt6)=-6\log\sqrt6$ だから、対数の性質より $$\displaystyle \frac1{\sqrt3}\int_{\sqrt6}^{3\sqrt3/2}\sqrt{x^2-6}\,dx=\frac1{2\sqrt3}\left(\frac94-3\log2\right)=\frac{3\sqrt3}{8}-\frac{\sqrt3}{2}\log2.$$ 以上から $\displaystyle S=\frac\pi2+\frac{3\sqrt3}{8}-\left(\frac{3\sqrt3}{8}-\frac{\sqrt3}{2}\log2\right)=\frac\pi2+\frac{\sqrt3}{2}\log2$。