宮崎大学 2020年数学第5問解答・解説

1問題

宮崎大学2020年度第5問

（医学部） $A$ と $B$ は右図のような格子状の道を以下のように移動するゲームを行う。

縦横各2区画の正方形の格子状の道で、9交点に文字が記されている。上段は左からg、h、i、中段はd、e、f、下段はa、b、cで、隣り合う点を水平・垂直の線分が結んでいる。

・ $A$ と $B$ は，このゲームにおいて $a$ から $i$ までの9つの点のいずれかにいる。　・最初 $A$ は点 $a$ に，また $B$ は点 $i$ にいる。　・ $A$ と $B$ は同時に出発し，1秒毎に隣の点へ移動する。　・1回目の移動では， $A$ と $B$ のそれぞれは隣の点へ確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で移動する。　・2回目以降の移動では， $A$ と $B$ のそれぞれは1秒前に自分がいた点以外の点へ等しい確率で移動する。ただし，移動できる点が1つの場合には，その点へ確率1で移動する。　・ $A$ と $B$ がはち合せする（すなわち， $A$ と $B$ が同時に同じ点に到達する）と，このゲームは終了する。　例えば， $A$ が出発から1秒後に点 $b$ に，2秒後に点 $e$ にいて， $B$ が出発から1秒後に点 $f$ に，2秒後に点 $e$ にいたら，出発から2秒後に $A$ と $B$ は点 $e$ ではち合せし，ゲームが終了する。　出発から4秒以内でゲームが終了する確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

結論
$\displaystyle \frac{49}{96}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

位置の並びは $\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}.$ 初手後の位置対は $(b,f),(b,h),(d,f),(d,h)$ で各々確率 $1/4$ 。1秒目には出会わない。後の移動では状態を「直前の位置・現在位置」の順に記録し、次の候補は現在位置の隣接点から直前位置を除いた集合となる。A、Bの選択は独立なので、次に出会う確率は二候補集合の共通点の数を候補数の積で割ればよい。

各初手位置対から、未遭遇の履歴だけをこの規則で列挙すると、初めて出会う時刻ごとの確率寄与は次表のとおり（寄与には初手の確率1/4を含む）。 $\begin{array}{c|c|c|c} (A_1,B_1)&2秒目&3秒目&4秒目\\\hline (b,f)&1/8&0&1/96\\ (b,h)&1/16&1/24&1/64\\ (d,f)&1/16&1/24&1/64\\ (d,h)&1/8&0&1/96 \end{array}$ 例えば初手 $(b,f)$ では2秒目の候補は両者とも $\{c,e\}$ なので、4通り中2通りが一致し寄与は $(1/4)(2/4)=1/8$ 。他のセルも、直前位置を除いた候補集合の共通点数で求まる。4秒目の非零寄与は、生存した履歴状態のうち各候補集合が一点を共有するものだけを足したもの。表の各列の和は $\displaystyle P(T=2)=\frac38,\qquad P(T=3)=\frac1{12},\qquad P(T=4)=\frac5{96}.$ 従って4秒以内に終了する確率は $\displaystyle P(T\le4)=\frac38+\frac1{12}+\frac5{96} =\frac{36+8+5}{96}=\frac{49}{96}.$

この問題で使う考え方

履歴状態の列挙
条件付き確率
独立な遷移の積

1問題

2答え

3解答

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