3宮崎大学 2020年 数学 第3問解答・解説

円周角の性質より、$\angle EBC=\angle EAC=\theta$、$\angle ECB=\angle EAB=\theta$ である。したがって $\triangle BEC$ は $BE=CE=3$、$\angle BEC=\pi-2\theta$ を満たす。$0<2\theta<\pi$ より、$\displaystyle \sin 2\theta=\sqrt{1-\cos^2 2\theta}=\frac{\sqrt{5}}{3}$、また $\displaystyle \cos\theta=\sqrt{\frac{1+\cos 2\theta}{2}}=\sqrt{\frac{5}{6}}$ である。

(1) 正弦定理より、$\displaystyle \frac{BC}{\sin(\pi-2\theta)}=\frac{BE}{\sin\theta}$ だから、$\displaystyle BC=3\frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}=6\cos\theta=\sqrt{30}$。

(2) $\triangle BEC$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}BE\cdot CE\sin\angle BEC$ であるから、$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot3\cdot3\cdot\sin 2\theta=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。

(3) $x=AB$、$y=AC$、$a=BC=\sqrt{30}$、$s=x+y$、$d=AD$ とおく。角の二等分線の定理から $\displaystyle BD=\frac{ax}{s}$、$\displaystyle DC=\frac{ay}{s}$ である。余弦定理を $\triangle ABD$、$\triangle ACD$ に用いると、$BD^2=x^2+d^2-2xd\cos\theta$、$DC^2=y^2+d^2-2yd\cos\theta$ となる。この2式の差をとり、$x>y$ に注意すると $\displaystyle \frac{a^2}{s}=s-2d\cos\theta$ を得る。一方、$\triangle ABC$ の余弦定理より $s^2-a^2=2xy(1+\cos2\theta)=4xy\cos^2\theta$ である。よって $\displaystyle d=\frac{s^2-a^2}{2s\cos\theta}=\frac{2xy\cos\theta}{s}$。

弦 $AE$ と弦 $BC$ の交点が $D$ なので、方べきの定理から $AD\cdot DE=BD\cdot DC$ である。$AD:DE=4:1$ より $DE=d/4$ であり、したがって $\displaystyle \frac{d^2}{4}=\frac{a^2xy}{s^2}$。上で得た $d$ の式を代入して整理すると $xy\cos^2\theta=a^2$、ゆえに $xy=30/(5/6)=36$。さらに $a^2=x^2+y^2-2xy\cos2\theta$ より $\displaystyle x^2+y^2=30+2\cdot36\cdot\frac{2}{3}=78$。したがって $(x+y)^2=78+72=150$、$(x-y)^2=78-72=6$。$x>y$ だから $x+y=5\sqrt{6}$、$x-y=\sqrt{6}$ となり、$x=3\sqrt{6},\ y=2\sqrt{6}$ を得る。