I日本医科大学 2011年 数学 第I問解答・解説

座標を (B=(-4,0), C=(4,0), A=(0,3)) とおく。このとき (AB=AC=5, BC=8) である。余弦定理から $$\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{5^2+5^2-8^2}{2\cdot5\cdot5}=-\frac7{25}.$$ 角 (BAC) は三角形の内角なので正弦は正であり、 $$\displaystyle \sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(-\frac7{25}\right)^2}=\frac{24}{25}.$$ よって面積は $\displaystyle \frac12\cdot5\cdot5\cdot\frac{24}{25}=12$、半周長は $9$ だから内接円の半径は $12/9=4/3$ である。また正弦定理より外接円の半径 $R$ は $$\displaystyle 2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{8}{24/25}=\frac{25}{3},\qquad R=\frac{25}{6}.$$

点 $X$ を中心に周上の点 $Y$ を回転させると、$Y$ は半径 $|XY|$ の円を描く。したがって距離 $|XY|$ が取り得る最小値を $d$、最大値を $M$ とすると、少なくとも1回通過する領域は半径 $d$ と $M$ の円にはさまれた部分であり、その面積は $\pi(M^2-d^2)$ である。頂点は周から除かれているため端の円が含まれない場合があるが、面積には影響しない。また、半径 $r$ の円と周との交点数が、その半径の円周上の各点が回転で通過される回数となる。

まず $X=A$ とする。2辺 $AB,AC$ 上には、距離が $0<r<5$ となる点がそれぞれ1点ずつある。底辺 $BC$ 上の点 $(x,0)$ までの距離は $\sqrt{x^2+9}$ なので、$0<r<3$ では交点がなく、$3<r<5$ では2点ある。従って距離の上限は $5$、下限は $0$ であり、$S(A)=25\pi$。また、周との交点がちょうど2点となるのは $0<r<3$ であるから、$S_2(A)=9\pi$。

外心は対称軸上にあり、$A$ と $B$ から等距離となる条件から $O=(0,-7/6)$ である。$O$ から底辺 $BC$ までの距離は $7/6$。$O$ から辺 $AB,AC$ までの距離は、半径 $25/6$ の外接円で弦の半分が $5/2$ となる直角三角形より $$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{25}{6}\right)^2-\left(\frac52\right)^2}=\frac{10}{3}.$$ 頂点までの距離はすべて $25/6$ なので、全周までの最小距離は $7/6$、最大距離は $25/6$。よって $$\displaystyle S(O)=\pi\left\{\left(\frac{25}{6}\right)^2-\left(\frac76\right)^2\right\}=16\pi.$$ 半径 $r$ が $7/6<r<10/3$ のとき、円は底辺 $BC$ と2点で交わり、他の辺とは交わらない。従ってちょうど2回通過される領域の面積は $$\displaystyle S_2(O)=\pi\left\{\left(\frac{10}{3}\right)^2-\left(\frac76\right)^2\right\}=\frac{39\pi}{4}.$$

最後に $X$ が線分 $OA$ 上にあるとし、$X=(0,y)$ とおく。$-7/6\le y\le3$ である。辺上の距離の最大値は端点で生じ、$B,C$ までの距離の平方は $16+y^2$、$A$ までの距離の平方は $(3-y)^2$ である。差は $7+6y\ge0$ なので最大距離の平方は $M^2=16+y^2$。

$y\le0$ では底辺への距離が $-y$ で他の辺までの距離より小さい。$y\ge0$ では底辺への距離が $y$、斜辺への距離が $(12-4y)/5$ であり、両者が等しいのは $y=4/3$。よって最小距離は $-7/6\le y\le4/3$ で $d=|y|$、$4/3\le y\le3$ で $d=(12-4y)/5$ となる。前者では $$S(X)=\pi(M^2-d^2)=16\pi.$$ 後者で $S(X)=16\pi$ となるには $y^2=((12-4y)/5)^2$ が必要で、区間内ではこれは境界 $y=4/3$ のみで成立する。従って該当する線分は $O$ から $y=4/3$ までで、その長さは $$\displaystyle \frac43-\left(-\frac76\right)=\frac52.$$ 以上より、空欄の値を得る。