12自治医科大学 2014年 数学 第12問解答・解説

問題 $AB=3,\ AC=2,\ \angle BAC=60^\circ$ の三角形 $ABC$ で、外接円の中心を $O$ とする。面積比 $S_1/S_2$（ただし $S_1=[ABC],\ S_2=[OAB]$）を求める。

解答 図形を回転・平行移動しても長さと面積は変わらないので、座標を $$A=(0,0),\qquad B=(3,0),\qquad C=(2\cos60^\circ,2\sin60^\circ)=(1,\sqrt3)$$ とおく。$O=(u,v)$ とする。外心は $A,B,C$ から等距離だから、$OA=OB$ より $$\displaystyle u^2+v^2=(u-3)^2+v^2\quad\text{したがって}\quad u=\frac32.$$ また $OA=OC$ より $$u^2+v^2=(u-1)^2+(v-\sqrt3)^2\quad\text{したがって}\quad u+\sqrt3v=2.$$ したがって $v=\sqrt3/6$ である。面積は底辺と高さから $$\displaystyle S_1=\frac12\cdot3\cdot\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2},\qquad S_2=\frac12\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{3\sqrt3/2}{\sqrt3/4}=6.$$

最終結果 $S_1/S_2=6$。選択肢は $\boxed{\text{マ}}$（値 $6$）。