17自治医科大学 2014年 数学 第17問解答・解説

問題 $\triangle OAB$ で、$OQ:QB=3:2$、$OR:RA=2:5$ とする。線分 $AQ$ と線分 $BR$ の交点を $P$ とし、 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ と表すとき、$15m/(2n)$ を求める。

解答 内分の比から $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac35\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{OR}=\frac27\overrightarrow{OA}.$$ $P$ を線分 $AQ$ 上で $A$ から $Q$ へ進む割合 $t$、線分 $BR$ 上で $B$ から $R$ へ進む割合 $s$ で表すと $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+\frac{3t}{5}\overrightarrow{OB} =\frac{2s}{7}\overrightarrow{OA}+(1-s)\overrightarrow{OB}.$$ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の係数を比較して $$\displaystyle 1-t=\frac{2s}{7},\qquad \frac{3t}{5}=1-s.$$ 後式から $s=1-3t/5$。これを前式へ代入すると $$\displaystyle 1-t=\frac27\left(1-\frac{3t}{5}\right) \quad\text{より}\quad 35-35t=10-6t \quad\text{より}\quad t=\frac{25}{29},\quad s=\frac{14}{29}.$$ したがって $$\displaystyle m=1-t=\frac4{29},\qquad n=\frac{3t}{5}=\frac{15}{29},$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{15m}{2n}=\frac{15\cdot(4/29)}{2\cdot(15/29)}=2.$$

最終結果 $15m/(2n)=2$。選択肢は $\boxed{\text{サ}}$（値 $2$）。