自治医科大学 2014年数学第8問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第8問

箱の中に赤球が4個、黄球が3個、青球が3個入っている。この箱から3個の球を同時に取り出すとき、3個とも同じ色になる確率を $p$ とする。 $100p$ の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

10個から同時に3個を選ぶ全場合の数は $\displaystyle \binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.$ 3個とも同じ色となるのは、赤3個、黄3個、青3個のいずれかを選ぶ場合である。その場合の数は $\displaystyle \binom{4}{3}+\binom{3}{3}+\binom{3}{3}=4+1+1=6.$ よって $\displaystyle p=\frac{6}{120}=\frac{1}{20},\qquad 100p=5.$

最終結果・使用解法

$100p=5$ （選択肢 $\text{ハ}$ ）。同時に選ぶ組合せの数を全場合・有利な場合に分けた。

点検

3色の同色事象は互いに重ならず、赤・黄・青の場合をすべて数えた。分母は $10$ 個からの3個選択である。問題文に判読上の不明点はない。

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則

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