自治医科大学 2014年数学第9問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第9問

正解か不正解かだけを問う二者択一式の問題が10個ある。でたらめに解答し2問だけ正解であった。このときの確率を $p$ とする。 $\displaystyle \frac{2^{10}}{5}p$ の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

各問について正解・不正解のどちらも確率 $\displaystyle \frac12$ であり、10問の解答パターンは同様に確からしい。10問中ちょうど2問を正解するパターン数は、正解する2問の選び方 $\displaystyle \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45$ である。全パターンは $2^{10}$ 通りなので $\displaystyle p=\frac{45}{2^{10}}.$ したがって $\displaystyle \frac{2^{10}}{5}p=\frac{2^{10}}{5}\cdot\frac{45}{2^{10}}=9.$

最終結果・使用解法

$9$ （選択肢 $\text{ワ}$ ）。二項の数え上げにより、ちょうど2問正解する場合の数と全場合の数の比を求めた。

点検

正解する問題を選べば不正解の8問は自動的に定まり、重複や漏れはない。各10問のパターンは各問独立の二者択一で同様に確からしい。問題文に判読上の不明点はない。

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