1岡山大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) 条件は1からnまでの異なる3整数を小さい順に並べたものなので、組数は $$\displaystyle \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}6.$$ (2) $x=a,\ y=b+1,\ z=c+2$ と置くと、$a\le b\le c$ は $1\le x<y<z\le n+2$ に対応する。逆に $(a,b,c)=(x,y-1,z-2)$ と戻せるので一対一対応であり、 $$\displaystyle \binom{n+2}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}6.$$ (3) $a<b$ を満たす組について、$c=a$、$c=b$、それ以外の3値相異なる場合に分ける。初めの2場合はそれぞれ $\displaystyle \binom n2$ 通り。最後は3値から最小のaが定まり、残りをb,cに割り当てる方法が2通りだから $\displaystyle 2\binom n3$ 通り。 $$\displaystyle 2\binom n2+2\binom n3=\frac{n(n-1)(n+1)}3.$$

(2)はずらし変換で重複をなくし、(3)はc=a、c=b、三値相異なる場合に分ける。この場合分けに重なりや漏れはない。