3東北大学 2014年 数学 第3問解答・解説

agraph{解答（(3)の数え上げを補足）} (1) 全体は $\displaystyle \binom{10}{2}=45$ 通り。積 $10$ には数字 $2$ と $5$ を1個ずつ選ぶ必要があり，有利な選び方は $2\cdot2=4$ 通り。確率は $4/45$。

(2) 積 $100$ には $5$ の球を2個使う。残る積は $4$ であり，残り2球は (i) $2$ を2個，または (ii) $4$ を1個と $1$ を1個。該当選び方は $1+2\cdot2=5$ 通り。全体は $\displaystyle \binom{10}{4}=210$ 通りなので $5/210=1/42$。

(3) まず各3個を順序なしの組 $T,U$ として数える。全体は $$\displaystyle \binom{10}{3}\binom{7}{3}=4200$$ 組。各数字の球は2個ずつであることを用いて，同じ積となる互いに球を共有しない順序付き組 $(T,U)$ を数えると次表となる（表にない積は0）。 $$\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} \text{積}&6&8&10&12&15&20&24&30&40&60\\\hline (T,U)\text{の数}&8&8&8&24&8&24&8&8&8&8 \end{array}$$ 特に積 $12$ を作る3球の数字の組は $134$ と $223$ である（たとえば $134$ は数字 $1,3,4$ の球を1個ずつ使うという意味）。

・ $T,U$ がともに $134$ 型なら，$T$ に各数字のどちらの球を入れるかが $2^3=8$ 通りで，$U$ は残りの球に決まる。したがって8通り。

・ $T$ が $134$ 型，$U$ が $223$ 型の場合，$T$ の球の選び方は $2\cdot2\cdot2=8$ 通り。$U$ は2の球を2個とも使い，3の球は $T$ が使ったものと異なるもう一方を使うので，各選び方に対して一意に定まる。逆に $T$ が $223$ 型，$U$ が $134$ 型の場合も同じく8通り。

・ $T,U$ がともに $223$ 型では，どちらも2の球を2個とも使うため共有を避けられず，0通り。

よって積 $12$ は $8+8+8=24$ 通り。積 $20$ も同様で，数字の組 $145$ と $225$ に対応し，同型 $145,145$ が8通り，異型の二つの向きが各8通り，同型 $225,225$ は2の球を共有するため0通りとなり，計24通り。

なお，積 $4$ の可能な数字の組は $114$ と $122$ である。同型を二つ組み合わせると1または2の球が4個必要になり，異型を組み合わせると1の球が3個必要になる。どの場合も各数字2個ずつという条件を満たさないため0通り。積 $16$ の組は $144$ と $224$ であり，同型では4または2の球が4個必要，異型では4の球が3個必要となるため，やはり0通り。

表の合計は112組。実際の順序付き6回抽出では，各 $(T,U)$ の中の並べ方が $3!\,3!$ 通りで，全体の順序付けにも同じ因子が掛かる。よって確率は $$\displaystyle \frac{112}{4200}=\frac{2}{75}.$$