1東北大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle X(t)=t+\frac{1}{3t}$。$\displaystyle X(\frac12)=\frac76$、また $t\to0+$ で $X(t)\to+\infty$。$0<t_1<t_2\le1/2$ なら $$\displaystyle X(t_1)-X(t_2)=(t_2-t_1)\left(\frac1{3t_1t_2}-1\right)>0$$ （$t_1t_2<1/4$）なのでXは連続で、減少する。値域は $x\ge7/6$。

(2) 必要十分条件は、ある $x\ge7/6$ に対し $x^2+ax+b=0$、すなわち $b=g_a(x)=-x^2-ax$ となること。aを固定して $$\displaystyle g_a(x)=-\left(x+\frac a2\right)^2+\frac{a^2}{4} \quad(x\ge7/6)$$ を見る。 頂点 $-a/2$ が区間内にある $a\le-7/3$ では最大値 $a^2/4$。頂点が左側の $a\ge-7/3$ では$\displaystyle x\geq\frac76$で減少するので最大値 $$\displaystyle g_a(7/6)=-\frac{49}{36}-\frac76a.$$ gは連続で無限遠では−∞に向かうので、各場合の最大値以下の全てのbが実現する。よって係数平面では、$a\le-7/3$ の境界放物線 $b=a^2/4$、$a\ge-7/3$ の境界直線 $b=-7a/6-49/36$ を含むその下側を塗る。二つの境界は $(-7/3,49/36)$ でつながる。