3京都府立医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $t=\log|x|$ とおく。$t<-1$ のとき$\left|t+1\right|+t-1=-2$ だから$g(x)=-1$ である。$t\geq-1$ のとき$\left|t+1\right|+t-1=2t$ なので$g(x)=-|t|$ となる。したがって $$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac1e &( |x|\leq\dfrac1e),\\[2mm] |x| &(\dfrac1e\leq |x|\leq1),\\[2mm] \dfrac1{|x|}&(|x|\geq1). \end{cases}$$ ここでは定義により$f(0)=1/e$ とした。グラフは$y$軸対称で、$-1/e\le x\le1/e$では高さ$1/e$の水平線分となり、その両側で$(\pm1/e,1/e)$から$(\pm1,1)$まで直線、さらに外側では$y=1/|x|$となる。

(2),(3)のため、点$A(a,h)$（$h=f(a)>0$）から左右それぞれの側で、曲線の下にあるまま$x$軸に達する線分の水平距離の上限を$D_-(a),D_+(a)$とする。右端を$a+d$とすると線分の式は$y=h(1-(x-a)/d)$、左端を$a-d$とすると$y=h(1-(a-x)/d)$である。三角形の底辺の両端が$a$を挟む場合、その底辺の長さは$D_-+D_+$以下である。両端が同じ側にある場合は底辺の長さがその側の遠い端までの距離より小さく、その端に向かう辺は曲線の下にあるから、やはり底辺の長さは$D_-+D_+$以下である。よって、どの場合も面積は$\displaystyle \frac h2(D_-+D_+)$以下となる。　 まず$0\leq a\leq1/e$とする。このとき$h=1/e$である。右への距離を$d$とし、線分が$x>e$まで達すれば、そこでは$f(x)=1/x$だから $$\displaystyle \frac1e\left(1-\frac{x-a}{d}\right)\leq\frac1x \quad\text{より}\quad d\leq\frac{x(x-a)}{x-e}.$$ $t=x-e>0$とおくと右辺は$t+2e-a+e(e-a)/t$であり、$t+q/t\geq2\sqrt q$（$q>0$）より $$D_+(a)\leq 2e-a+2\sqrt{e(e-a)}.$$ 同様に左への距離について$x=-u$（$u>e$）を用いると $$\displaystyle \frac1e\left(1-\frac{a+u}{d}\right)\leq\frac1u \quad\text{より}\quad d\leq\frac{u(a+u)}{u-e}.$$ $t=u-e>0$とおけば右辺は$t+a+2e+e(a+e)/t$なので、 $$D_-(a)\leq a+2e+2\sqrt{e(a+e)}.$$ 各最小値を与える点は右側では $x=e+\sqrt{e(e-a)}$、左側では $x=-e-\sqrt{e(a+e)}$ である。それらまでの距離はそれぞれ上の上界より小さいので、線分がその点まで達しない場合も同じ上界が成り立つ。 ここで $$\sqrt{e+a}+\sqrt{e-a}\leq2\sqrt e,$$ というのは、左辺の平方が$2e+2\sqrt{e^2-a^2}\leq4e$だからである。従って $$D_-+D_+\leq4e+2\sqrt e\bigl(\sqrt{e+a}+\sqrt{e-a}\bigr)\leq8e,$$ ゆえにこの範囲では三角形の面積は$\displaystyle \frac1{2e}(D_-+D_+)\leq4$である。　 特に$a=0$では左右の距離はいずれも$4e$以下となる。一方、底辺の両端を$(-4e,0),(4e,0)$とする三角形は領域内にある。実際、右側の辺は$\displaystyle y=\frac1e(1-x/(4e))$であり、$0\leq x\leq e$では$f(x)\geq1/e$、$e\leq x\leq4e$では $$\displaystyle xy=\frac{x}{e}\left(1-\frac{x}{4e}\right)=1-\left(1-\frac{x}{2e}\right)^2\leq1$$ なので、いずれも$y\leq f(x)$である。左側も対称性から同じである。この三角形の面積は$\displaystyle \frac12\cdot8e\cdot\frac1e=4$だから、$S(0)=4$である。　 次に$1/e<a\leq1$とする。このとき$h=a$である。左端を$b<0$とすると、$1/e<x<a$となる$x$で$f(x)=x$であるが、辺$AB$の高さは $$\displaystyle \frac{a(x-b)}{a-b},\qquad \frac{a(x-b)}{a-b}-x=\frac{b(x-a)}{a-b}>0$$ となり曲線を上回る。したがって左端は$b\geq0$でなければならず、$D_-(a)\leq a$である。　 $a<1$では$r=\sqrt{1-a^2}$、$x_0=(1+r)/a$とおくと$x_0>1/a$である。右端の線分が$x_0$まで達する場合、そこで$f(x_0)=1/x_0$を用いると $$\displaystyle d\leq\frac{a x_0(x_0-a)}{a x_0-1} =\frac1a\left(t+2-a^2+\frac{1-a^2}{t}\right)\bigg|_{t=r} =\frac{(1+r)^2}{a},\qquad t=ax_0-1.$$ 線分が$x_0$まで達しない場合も$d<x_0-a<(1+r)^2/a$なので同じ上界を得る。$a=1$でも$x\downarrow1$とすることで$D_+(1)\leq1$となり、同じ式が成り立つ。よって $$\displaystyle S(a)\leq\frac a2\left(a+\frac{(1+r)^2}{a}\right)=\frac{a^2+(1+r)^2}{2}=1+r\leq2<4.$$

$1\leq a\leq e/2$では$h=1/a$である。左端を$b<1/e$とすると、線分上の$x=1/e$での高さが$1/e=f(1/e)$以下でなければならないから $$\displaystyle \frac1a\left(1-\frac{a-1/e}{d}\right)\leq\frac1e \quad\text{より}\quad d\leq\frac{ae-1}{e-a}\leq2a.$$ $b\geq1/e$ならば距離は$a-b<a<2a$であるから、いずれにしても$D_-(a)\leq2a$である。また右側の線分について、$x>a$では$f(x)=1/x$であり、線分の高さが$1/x$以下であることから距離$d\leq x$を得る。$x\downarrow a$とすれば$D_+(a)\leq a$である。従って$\displaystyle S(a)\leq\frac1{2a}(2a+a)=3/2<4$。　 最後に$a\geq e/2$とする。$u=a(1+\sqrt2)>e$とおく。左端$b$が$-u$以下なら、$x=-u$における線分の高さと$f(-u)=1/u$を比べて $$\displaystyle \frac1a\left(1-\frac{a+u}{d}\right)\leq\frac1u \quad\text{より}\quad d\leq\frac{u(a+u)}{u-a}=(3+2\sqrt2)a.$$ $b>-u$の場合も$d<a+u=(2+\sqrt2)a<(3+2\sqrt2)a$であるから、$D_-(a)\leq(3+2\sqrt2)a$である。右側では前段と同じく$f(x)=1/x$を用いれば$D_+(a)\leq a$となる。したがって $$\displaystyle S(a)\leq\frac1{2a}\bigl((3+2\sqrt2)a+a\bigr)=2+\sqrt2<4.$$ $f$は偶関数であるから、$a<0$の場合も$S(a)=S(-a)$である。以上より任意の実数$a$について$S(a)\leq4=S(0)$が示された。