1藤田医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1)　 補集合の大きさは $|A^c|=17,\ |B^c|=14,\ |C^c|=13$。したがって $$|A\cap B\cap C| =|U\setminus(A^c\cup B^c\cup C^c)| \ge50-(17+14+13)=6.$$ この下限は、3つの補集合を互いに交わらないように選べば実現できる（合計44個を除いた残り6個が全て $A,B,C$ に入る）。よって最小値は6。

(2)　 70より大きい2桁の素数は $71,73,79,83,89,97$。平均は $$\displaystyle \bar{x}=\frac{71+73+79+83+89+97}{6}=82.$$ 平均との差の平方の和は $$(-11)^2+(-9)^2+(-3)^2+1^2+7^2+15^2=486.$$ データ全体の分散は $486/6=81$ だから、標準偏差は9。

(3)　 常用対数を取ると $$n\log_{10}(0.9)<-2,\qquad \log_{10}(0.9)=2\log_{10}3-1=2(0.4771)-1=-0.0458.$$ 負数で割ると不等号が逆になり $n>2/0.0458$。$43\cdot0.0458=1.9694<2$、$44\cdot0.0458=2.0152>2$ より、最小の整数は44。

(4)　 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ とし、極方程式に $r$ を掛けると $$r^2=2(r\cos\theta+r\sin\theta)=2(x+y).$$ よって直交座標では $x^2+y^2=2x+2y$、すなわち $(x-1)^2+(y-1)^2=2$。$x=1$ を代入すると $(y-1)^2=2$ だから $y=1\pm\sqrt2$。

(5)　 $B-A=(4+4i)-(2+i)=2+3i$。直角二等辺三角形では $\overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ を $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転したベクトルなので $$C-A=\pm i(B-A)=\pm(-3+2i).$$ 従って $z_C=(2+i)+(-3+2i)=-1+3i$ または $z_C=(2+i)+(3-2i)=5-i$。向きの指定がないため両方が可能である。

(6)　 $x\to\infty$ で $$\displaystyle \sqrt{3x^2+2x+1}-\sqrt3\,x =\frac{2x+1}{\sqrt{3x^2+2x+1}+\sqrt3\,x} \longrightarrow\frac1{\sqrt3}.$$ したがって一次の発散を消すには $a=-\sqrt3$ が必要であり、その後の極限を0にするには $1/\sqrt3+b=0$ が必要。よって $a=-\sqrt3,\ b=-1/\sqrt3$。

(7)　 $\log$ を自然対数とすると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-2\log(2x)}{x^3}.$$ これが0となるのは $2x=\sqrt e$、すなわち $x=\sqrt e/2$。その前で $f'>0$、その後で $f'<0$ だからここで最大となる。最大値は $$\displaystyle f\left(\frac{\sqrt e}{2}\right) =\frac{\log\sqrt e}{e/4} =\frac{1/2}{e/4}=\frac2e.$$

(8)　 $x'=3(1-\cos t),\ y'=3\sin t$。$0\le t\le\pi/2$ では $\sin(t/2)\ge0$ なので速さは $$\displaystyle \sqrt{(x')^2+(y')^2} =3\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t} =6\sin\frac t2.$$ 従って曲線の長さは $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}6\sin\frac t2\,dt =\left[-12\cos\frac t2\right]_0^{\pi/2} =12-6\sqrt2.$$

検算として、(6) の残差は有理化後に $1/\sqrt3$ へ収束し、(8) の速さは区間内で非負である。