3藤田医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

立方体の一辺を座標軸に合わせ、 $$B=(0,0,1),\ C=(1,0,1),\ D=(1,1,1),\quad E=(0,1,0),\ F=(0,0,0),\ H=(1,1,0)$$ とする。このとき $$P=(t,0,1),\qquad Q=(1,1,1-t),\qquad R=(0,1-t,0).$$ 3点はいずれも $$-x+y+z=1-t$$ を満たす。従って、$t$ の異なる値に対する三角形 $PQR$ は互いに異なる平行平面上にあり、各平面が立体をただ一度ずつ切る。この平面族の法線方向は $(-1,1,1)$ で長さは $\sqrt3$ だから、$t$ が $dt$ 増す間の平面間距離は $dt/\sqrt3$。

辺の長さを座標差から求めると $$PQ^2=(1-t)^2+1+t^2=2(1-t+t^2),$$ $$PR^2=t^2+(1-t)^2+1=2(1-t+t^2),\qquad QR^2=1+t^2+(1-t)^2=2(1-t+t^2).$$ よって各断面は一辺 $\sqrt{2(1-t+t^2)}$ の正三角形であり、その面積は $$\displaystyle S(t)=\frac{\sqrt3}{4}\cdot2(1-t+t^2) =\frac{\sqrt3}{2}(1-t+t^2).$$ 平行断面の面積を法線方向に積分すると、通過してできる立体の体積は $$\displaystyle V=\int_0^1 S(t)\frac{dt}{\sqrt3} =\frac12\int_0^1(1-t+t^2)\,dt =\frac12\left(1-\frac12+\frac13\right) =\frac5{12}.$$

検算として、各断面積は正であり、平行断面間隔の積分で得た体積 $5/12$ は一辺1の立方体の体積1より小さい。