IV慶應義塾大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

(1) 平面 $z=t$ と辺 $AB,AC,OB,OC$ との交点を求める。辺上の内分比から $$\text{辺 }AB\text{ との交点}=(5t-8,-t,t),\quad \text{辺 }AC\text{ との交点}=(3t-6,2t-3,t),$$ $$\text{辺 }OB\text{ との交点}=(t,-t,t),\quad \text{辺 }OC\text{ との交点}=(t,t,t).$$ $t\to1$ で最初の2点が $A$ に一致し、$t\to2$ で $AB$ 上の点と $OB$ 上の点が $B$ に一致する。よって $$W=(5t-8,-t,t),\quad X=(3t-6,2t-3,t),\quad Y=(t,-t,t),\quad Z=(t,t,t).$$

(2) 四角形の順を $W,Y,Z,X$ とする。対角線 $WZ$ で三角形 $WYZ$ と $WZX$ に分ける。座標から $$[WYZ]=4t(2-t),\qquad [WZX]=4(t-1)(3-t),$$ したがって $$A(t)=4t(2-t)+4(t-1)(3-t)=-8t^2+24t-12.$$ 体積は水平断面積の積分で求まる。$0\le t\le1$ では断面は $t=1$ の三角形を原点中心に比 $t$ で相似拡大・縮小したものなので面積は $4t^2$。$2\le t\le3$ では断面は $t=2$ の三角形を頂点 $C$ 中心に比 $3-t$ で相似拡大・縮小したものなので面積は $4(3-t)^2$。端の三角形はいずれも面積 $4$ である。よって $$\displaystyle V=\int_0^1 4t^2\,dt+\int_1^2(-8t^2+24t-12)\,dt+\int_2^3 4(3-t)^2\,dt =\frac43+\frac{16}3+\frac43=8.$$

(3) $A,B,C$ を通る平面は、各点を代入して確かめると $$-3x-2y+13z=24$$ である。線分 $OD$ 上の点を $sD=(6s,2s,4s)$ とおくと、平面との交点では $30s=24$、すなわち $\displaystyle s=\frac45$。したがって $\displaystyle E=(\frac{24}5,\frac85,\frac{16}5)$ である。 $$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\left(\frac{39}5,\frac{13}5,\frac{11}5\right),\quad \overrightarrow{AB}=(5,-1,1),\quad \overrightarrow{AC}=(6,4,2).$$ $\overrightarrow{AE}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ の成分を比べると $\displaystyle -u+4v=\frac{13}5$、$\displaystyle u+2v=\frac{11}5$ だから $\displaystyle u=\frac35, v=\frac45$。よって $\displaystyle u+v=\frac75>1$ である。点 $D$ は面 $ABC$ の外側にあるため、面 $ABC$ は $ABD,ACD,BCD$ の3面に置き換わる。したがって空欄はこの3三角形である。

(4) 断面の頂点を $Y,W,J,X,Z$ の順にとる。ここで、辺ADと平面$z=t$との交点Jは $J=(3t-6,t-2,t)$ である。三角形 $YWJ,YJX,YXZ$ に分け、座標による三角形の面積を計算すると $$[YWJ]=4(2-t)(t-1),\quad [YJX]=(t-1)(3-t),\quad [YXZ]=2t(3-t).$$ したがって $$\displaystyle U(t)=-7t^2+22t-11=-7\left(t-\frac{11}7\right)^2+\frac{44}7.$$ $\displaystyle 1<\frac{11}7<2$ だから、最大値は $\displaystyle t=\frac{11}7$ のときの $\displaystyle \frac{44}7$ である。