2東海大学 2021年 2日目 数学 第2問解答・解説

(1)(i) $\displaystyle x\leq\frac13$ なら $x<1$ であり、$y=(1-x)^{-1}$ の導関数は $(1-x)^{-2}>0$ だから単調増加する。したがって最大値は右端 $\displaystyle x=\frac13$ でとり、値は $\displaystyle \frac32$ である。

(ii) $\displaystyle x>\frac13$ では $x>0$ であり $$\displaystyle \frac{5x-1}{x^2}=5x^{-1}-x^{-2},\qquad \left(\frac{5x-1}{x^2}\right)'=\frac{2-5x}{x^3}.$$ 導関数は $\displaystyle \frac13<x<\frac25$ で正、$\displaystyle x>\frac25$ で負だから、最大値は $\displaystyle x=\frac25$ でとり、その値は $\displaystyle \frac{25}{4}$ である。

(2) 三角形 OPR は面積 $\displaystyle \frac12$ で平面 $y=0$ 上にあり、Q からこの平面までの距離は $1$ である。よって四面体 OPQR の体積は $\displaystyle \frac16$ である。

(i) $\displaystyle t=\frac13$ かつ $\displaystyle u\leq\frac13$ のとき、切り口の頂点は OP, PQ, PR 上にある。切り口を $\displaystyle x=\frac13$ の平面内で見ると、直交する二辺の長さはそれぞれ $$\displaystyle \frac{2/3}{1-u},\qquad \frac23$$ である。よって $$\displaystyle S=\frac12\cdot\frac{2/3}{1-u}\cdot\frac23 =\frac{2}{9(1-u)}.$$ これは $\displaystyle u\leq\frac13$ で増加するから、最大は $\displaystyle u=\frac13$ のときの $\displaystyle \frac13$ である。

P 側の立体は頂点 P、底面積 $S$、高さ $\displaystyle \frac23$ の四面体なので $$\displaystyle V=\frac13\cdot S\cdot\frac23=\frac{2S}{9} =\frac{4}{81(1-u)},\qquad W=\frac16-V.$$ $3V=2W$ より $\displaystyle 5V=\frac13$、すなわち $\displaystyle V=\frac1{15}$ である。これを代入して $$\displaystyle \frac{4}{81(1-u)}=\frac1{15} \quad\text{ならば}\quad u=\frac7{27}.$$

(ii) 線分 QR は $R+s(Q-R)=(us,s,1-s)$ と表せる。$x=t$ とおくと $s=t/u$ だから、交点は $$\displaystyle \left(t,\frac{t}{u},1-\frac{t}{u}\right)$$ である。

(iii) まず断面積を求める。$\displaystyle t=\frac13$、$\displaystyle u>\frac13$ の切り口は OP,OQ,QR,PR 上の4点を頂点とする台形である。平行な辺の長さは $\displaystyle \frac23$ と $\displaystyle 1-\frac{t}{u}$、間隔は $\displaystyle \frac{t}{u}$ だから $$\displaystyle S=\frac{t}{2u}\left((1-t)+(1-t/u)\right) =\frac{5u-1}{18u^2}.$$ ここで $$\displaystyle \frac{dS}{du}=\frac{2-5u}{18u^3}$$ は $\displaystyle \frac13<u<\frac25$ で正、$\displaystyle u>\frac25$ で負なので、$\displaystyle u>\frac13$ における最大は $\displaystyle u=\frac25$ のときで、$S=25/72$ である。

次に $V=W$ を求める。まず $\displaystyle \frac13<u<1$ とする。切断面を $x=s$ とする。$\displaystyle \frac13\leq s\leq u$ では4頂点が OP,OQ,QR,PR 上にあり、それらの座標は $$(s,0,0),\quad(s,s/u,0),\quad(s,s/u,1-s/u),\quad(s,0,1-s)$$ である。この台形の平行な辺は $1-s$ と $\displaystyle 1-\frac{s}{u}$、間隔は $\displaystyle \frac{s}{u}$ だから面積は $$\displaystyle S(s)=\frac{s}{2u}\left(2-s-\frac{s}{u}\right).$$ $u\leq s\leq1$ では断面は3頂点 OP,PQ,PR 上の三角形で、PQ 上の点の $y$ 座標は $\displaystyle \frac{1-s}{1-u}$、PR 上の点の $z$ 座標は $1-s$ である。したがって面積は $$\displaystyle S(s)=\frac{(1-s)^2}{2(1-u)}.$$ よって切片積分により $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_{1/3}^{u}\frac{s}{2u}\left(2-s-\frac{s}{u}\right)ds +\int_u^1\frac{(1-s)^2}{2(1-u)}ds\\ &=\frac16-\frac{4}{81u}+\frac{1}{162u^2}. \end{aligned}$$ この範囲で $$\displaystyle V'(u)=\frac{4u-1}{81u^3}>0.$$ $V=W$ は全体積 $\displaystyle \frac16$ の半分、すなわち $\displaystyle V=\frac1{12}$ と同値だから $$\displaystyle \frac16-\frac{4}{81u}+\frac{1}{162u^2}=\frac1{12} \quad\text{すなわち}\quad 27u^2-16u+2=0.$$ 解は $(8\pm\sqrt{10})/27$ であり、$\displaystyle \frac13<u<1$ を満たすのは $(8+\sqrt{10})/27$ である。

$u\ge1$ では、四面体内の点を頂点 O,P,Q,R の重み $\lambda_O,\lambda_P,\lambda_Q,\lambda_R\geq0$、和 $1$ の重み付き平均で表すと、その x 座標は $\lambda_P+u\lambda_Q$ である。この対応を座標で書くと、$u=1$ の四面体から現在の四面体への写像は $$T_u(x,y,z)=(x+(u-1)y,y,z)$$ である。実際、$O,P,R$ は固定され、$Q=(1,1,0)$ は $(u,1,0)$ に移り、線分上の内分比も保つので四面体全体が対応する。$y=y_0$ の各断面内では、この写像は $x$ 方向への一定量 $(u-1)y_0$ の平行移動であり、断面積を保つ。したがって断面積を $y$ で積分する高校の体積計算により、四面体内のどの部分についても体積を保つ。また四面体内では $y\geq0$ であり、$u\geq1$ なら $x+(u-1)y\geq x$ である。よって $u=1$ の四面体の $P$ 側部分 $x\geq1/3$ の像は、現在の四面体の $P$ 側部分に含まれる。この像の体積は元の部分の体積と等しいので、現在の $P$ 側の体積は $u=1$ のとき以上となる。$u=1$ では $\displaystyle V=\int_{1/3}^1s(1-s)ds=10/81>1/12$ であり、この範囲に $V=W$ の解はない。