4東京慈恵会医科大学 2014年 数学 第4問解答・解説

平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるので $A+C=B+D$、従って $A=(1,-\sqrt3,d)$。

(1)(i) $u=\overrightarrow{AB}$、$v=\overrightarrow{AD}$ と置くと $C=A+u+v$。$M$ は $BC$ の中点なので $M=A+u+v/2$。$CN:ND=5:1$ より $N=A+u/6+v$。直線 $BN$ を $A+u+t(-5u/6+v)$、直線 $DM$ を $A+v+s(u-v/2)$ と表す。係数比較で $1-5t/6=s$、$t=1-s/2$、従って $t=6/7,s=2/7$。交点 $G$ は $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac27u+\frac67v.$$

(ii) 座標から $u=C-D=(0,\sqrt3,-d)$、$v=C-B=(-1,\sqrt3,0)$。従って $|v|=2$、$u\cdot v=3$、$|u|^2=3+d^2$。$\overrightarrow{AG}=(2u+6v)/7$ であり $$\displaystyle |AG|^2=\frac{4(57+d^2)}{49},\qquad v\cdot AG=\frac{30}{7}.$$ 条件 $\angle DAG=\pi/6$ より $$\displaystyle \frac{v\cdot AG}{|v||AG|}=\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{したがって}\quad \frac{15}{2\sqrt{57+d^2}}=\frac{\sqrt3}{2},$$ 従って $d^2=18$、$d>0$ から $d=3\sqrt2$。ゆえに $A=(1,-\sqrt3,3\sqrt2)$。

(2) 高さを $z$ とする水平断面を考え、$s=z/d$（$0\le s\le1$）とおく。断面四角形の頂点は、辺 $OA,AB,CD,OD$ 上の交点でそれぞれ $$(s,-\sqrt3s),\quad(1,-\sqrt3s),\quad(0,\sqrt3(1-s)),\quad(0,0)$$ となる。$OD$ は回転軸上にあるため回転後の断面は半径最大値の円板である。各頂点の軸からの距離の最大値は $$\displaystyle R(s)=\max\{2s,\sqrt{1+3s^2},\sqrt3(1-s)\} =\begin{cases}\sqrt3(1-s),&0\le s\le1/3,\\\sqrt{1+3s^2},&1/3\le s\le1,\end{cases}$$ （$\sqrt{1+3s^2}\ge2s$）。よって体積は $$\displaystyle V=\pi d\left(\int_0^{1/3}3(1-s)^2ds+\int_{1/3}^1(1+3s^2)ds\right) =\pi d\left(\frac{19}{27}+\frac{44}{27}\right) =\frac73\pi d=7\sqrt2\pi.$$