1東京慈恵会医科大学 2014年 数学 第1問解答・解説

agraph{問題1（独立解答）}

agraph{(1) カードの確率} 3枚は同時に取り出すので、標本は順序を付けない3要素の組であり、 総数は $\displaystyle \binom{10}{3}=120$ である。小さい順に $X<Z<Y$ と書く。

$Y=2X$ の場合、$X=x$ と固定すれば $2x\leq10$ なので $1\leq x\leq5$。中間の $Z$ は $x+1,x+2,\ldots,2x-1$ の $x-1$ 通りから選ぶ。 従って該当する組は $$\displaystyle \sum\limits _{x=1}^{5}(x-1)=0+1+2+3+4=10$$ 通りであり、 $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\Pr(Y=2X)=\frac{10}{120}=\frac1{12}}.$$

$Y<2X$ では、$X=x$ と固定したとき、残り2枚は $\displaystyle \{x+1,\ldots,\min(10,2x-1)\}$ から選ぶ。 $1\leq x\leq5$ ならこの集合は $x-1$ 枚、 $6\leq x\leq10$ なら $10-x$ 枚である。 $\displaystyle \binom m2=0$（$m<2$）と約束すれば、組数は $$\displaystyle \sum\limits _{x=1}^{5}\binom{x-1}{2} +\sum\limits _{x=6}^{10}\binom{10-x}{2} =(0+0+1+3+6)+(6+3+1+0+0)=20.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\text{イ}=\Pr(Y<2X)=\frac{20}{120}=\frac16}.$$

agraph{(2) 3点を巡る一次変換} $P=(1,-1)$、$R=(-1,0)$である。 任意の点$Q=(q_1,q_2)$について $$\alpha P+\beta R=(\alpha-\beta,-\alpha)=Q$$ を成分ごとに解くと、$\alpha=-q_2,\ \beta=-q_1-q_2$とただ一通りに定まる。 したがって、未知の点$Q$を $$Q=\alpha P+\beta R$$ と一意に表してよい。 $AP=Q$, $AQ=R$, $AR=P$ を使うと $$R=AQ=\alpha AP+\beta AR =\alpha(\alpha P+\beta R)+\beta P =(\alpha^2+\beta)P+\alpha\beta R.$$ $P,R$ の係数を比べて $$\alpha^2+\beta=0,\qquad\alpha\beta=1.$$ 従って $\beta=-\alpha^2$、$\alpha^3=-1$。 $\alpha$ は実数なので $\alpha=-1$, $\beta=-1$ である。 よって $$\boxed{Q=-P-R=(0,1)},\qquad \boxed{\text{エ}=0,\quad\text{オ}=1}.$$

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ と置く。 $AR=P$、すなわち $A(-1,0)=(1,-1)$ から $a=-1$, $c=1$。また $AP=Q$、すなわち $A(1,-1)=(0,1)$ から $a-b=0$, $c-d=1$。 従って $b=-1$, $d=0$ であり、 $$\boxed{\text{ウ}=A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$$ 実際、$A(0,1)=(-1,0)=R$ も満たすので、三つの移動条件を すべて確認できる。