1昭和大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=(-6,3,12)$とおく。$H=A+s\overrightarrow{AB}$と表すと，$PH\perp AB$より $$(\overrightarrow{AP}-s\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AB}=0.$$ ここで$\overrightarrow{AP}=P-A=(-6,-3,3)$だから $$\displaystyle s=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2} =\frac{36-9+36}{36+9+144}=\frac{63}{189}=\frac13.$$ したがって $$\displaystyle H=A+\frac13\overrightarrow{AB}=(2,-3,0)+(-2,1,4)=(0,-2,4).$$

(2-1) 半角の公式から $$\displaystyle \sin\theta=\frac{2\tan(\theta/2)}{1+\tan^2(\theta/2)}=\frac{2t}{1+t^2}.$$

(2-2) $t=\tan(\theta/2)$とおくと，半角の公式より $$\displaystyle \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ したがって条件は $$\displaystyle \frac{1+2t-t^2}{1+t^2}=-\frac15 \quad\text{すなわち}\quad 2t^2-5t-3=0 \quad\text{すなわち}\quad (2t+1)(t-3)=0.$$ $-\pi<\theta<\pi$では$t$は任意の実数をとれるので，$\displaystyle t=-\frac12,3$はいずれも条件を満たす。

(3-1) 2回目に出るカードは$n$枚のどれも同じ確率であるから，番号が$m$である確率は $$\displaystyle \frac1n.$$

(3-2) 得点が$m$となるには，2回目が番号$m$であり，1回目が$1,2,\ldots,m-1$のいずれかであればよい。順序を区別した全抽出結果は$n(n-1)$通りで，この条件を満たすものは$m-1$通りだから，求める確率は $$\displaystyle \frac{m-1}{n(n-1)}.$$

(3-3) 得点が0となるのは，2回目の番号が1回目より小さい場合である。2枚の異なるカードの各組について，先に大きい番号を引く順序はちょうど1通りなので，そのような順序は$\displaystyle \binom n2$通りである。よって確率は $$\displaystyle \frac{\binom n2}{n(n-1)}=\frac12.$$

(3-4) 得点の期待値は $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{n}m\frac{m-1}{n(n-1)} =\frac{1}{n(n-1)}\left(\sum\limits _{m=1}^{n}m^2-\sum\limits _{m=1}^{n}m\right) =\frac{1}{n(n-1)}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n(n+1)}2\right) =\frac{n+1}{3}.$$