3昭和大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1-1) 双曲線$H$は$\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$であるから，焦点の座標は $$(5,0),\ (-5,0)$$ である。

(1-2) 漸近線の方程式は$\displaystyle y=\pm\frac34x$である。正の傾きをもつものは $$\displaystyle y=\frac34x$$ である。

(1-3) この漸近線に垂直な直線の傾きは$\displaystyle -\frac43$なので，その直線を$\displaystyle y=-\frac43x+k$とおく。これを$H$に代入して整理すると $$175x^2-384kx+144k^2+1296=0$$ となる。接するときはこの二次方程式が重解をもつから，判別式より $$\displaystyle (-384k)^2-4\cdot175(144k^2+1296)=0, \qquad k^2=\frac{175}{9}.$$ 重解の$x$座標は$\displaystyle x=\frac{384k}{350}=\frac{192k}{175}$である。$\displaystyle k=\pm\frac{5\sqrt7}{3}$を代入すると，接点は $$\displaystyle \left(\frac{64\sqrt7}{35},-\frac{27\sqrt7}{35}\right), \qquad \left(-\frac{64\sqrt7}{35},\frac{27\sqrt7}{35}\right)$$ である。

(2) 対数が定義されるため$a\geq2,b\geq2$である。$u=\log_a b$とおくと$u>0$かつ$\displaystyle \log_b a=\frac1u$なので，条件は $$\displaystyle u>\frac4u+3 \quad\text{すなわち}\quad u^2-3u-4>0 \quad\text{すなわち}\quad u>4.$$ したがって$b>a^4$であり，これと$b<9a$より$a^4<b<9a$を得る。$a\geq3$なら$a^4\geq27a>9a$となり不可能である。よって$a=2$であり，$16<b<18$を満たす整数は$b=17$だけである。

(3-1) $\ell$と$m$の交点を$R$とすると，$\displaystyle R=(\frac12,\frac52)$である。$\ell$と$m$の方向ベクトルをそれぞれ$u=(1,1)$，$v=(1,-1)$とする。直線が互いに移るので，ある実数$\lambda,\mu$に対して $$Au=\lambda v,\qquad Av=\mu u.$$ また，交点$R$はそれらの像の交点でもあるため$AR=R$である。$\displaystyle R=\frac32u-v$より $$\displaystyle \frac32\lambda v-\mu u=\frac32u-v.$$ $u,v$は一次独立だから$\displaystyle \lambda=-\frac23,\ \mu=-\frac32$となる。$\displaystyle (1,0)=\frac12(u+v)$，$\displaystyle (0,1)=\frac12(u-v)$を用いると，$A$の列は $$\displaystyle A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{13}{12}\\-\frac5{12}\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac5{12}\\\frac{13}{12}\end{pmatrix}.$$ したがって $$\displaystyle A=\frac1{12}\begin{pmatrix}-13&5\\-5&13\end{pmatrix}.$$

(3-2) $\displaystyle Au=-\frac23v$，$\displaystyle Av=-\frac32u$より$A^2u=u$，$A^2v=v$である。$u,v$は平面の基底なので$A^2=I$。よって $$\displaystyle A^{2013}=(A^2)^{1006}A=A=\frac1{12}\begin{pmatrix}-13&5\\-5&13\end{pmatrix}.$$