III慶應義塾大学 2021年 数学 第III問解答・解説

地上の点$P$を$(u,v)$とする。塔の先端を見上げる角の正接は、それぞれ$h/PA$、$g/PQ$であるから、角が等しい条件は$$\displaystyle \frac{h}{PA}=\frac{g}{PQ}\quad\text{すなわち}\quad g^2\{u^2+(v-1)^2\}=h^2\{(u-x)^2+(v-y)^2\}.\tag{1}$$$h,g>0$なので両辺を2乗しても同値である。

(1) $Q=(T,1)$の場合、(1)を整理すると$$(g^2-h^2)\{u^2+(v-1)^2\}+2h^2Tu-h^2T^2=0.$$$h\ne g$なので平方完成でき、$$\displaystyle \left(u-\frac{h^2T}{h^2-g^2}\right)^2+(v-1)^2=\left(\frac{hgT}{h^2-g^2}\right)^2.$$したがって中心は$\displaystyle \left(\frac{h^2T}{h^2-g^2},1\right)$、半径は$\displaystyle \frac{hgT}{|h^2-g^2|}$である。

(2) (1)で$P$が$y$軸上にあるとき$u=0$だから、$$(g^2-h^2)v^2+2(h^2y-g^2)v+g^2-h^2(x^2+y^2)=0.$$$g^2-h^2\ne0$より、実数$v$がただ1つである条件はこの二次方程式の判別式が0となることである。その判別式を4で割ると$$(h^2y-g^2)^2-(g^2-h^2)\{g^2-h^2(x^2+y^2)\}=h^2\{g^2(y-1)^2+(g^2-h^2)x^2\}.$$よって$g^2(y-1)^2+(g^2-h^2)x^2=0$。$Q\ne A=(0,1)$なので$g>h$ではこの左辺は0にならず、条件を満たさない。したがって$h>g$であり、$$\displaystyle y=1+\frac{\sqrt{h^2-g^2}}{g}x\quad\text{または}\quad y=1-\frac{\sqrt{h^2-g^2}}{g}x.$$

(3) 今度は$P$が$x$軸上にあるので$v=0$であり、(1)は$$(g^2-h^2)u^2+2h^2xu+g^2-h^2(x^2+y^2)=0.$$これが$u$についてただ1つの実数解をもつ条件は判別式が0であることで、その判別式を4で割った式は$$h^4x^2-(g^2-h^2)\{g^2-h^2(x^2+y^2)\}=h^2g^2x^2+h^2(g^2-h^2)y^2-g^2(g^2-h^2).$$したがって$Q=(x,y)$は$$\displaystyle \frac{h^2}{g^2-h^2}x^2+\frac{h^2}{g^2}y^2=1\tag{2}$$を満たす。$h\ne g$より、(2)は$g>h$なら楕円、$h>g$なら双曲線である。$g>h$では楕円の軸の半径の2乗は$a_x^2=(g^2-h^2)/h^2$、$a_y^2=g^2/h^2$で、$a_y>a_x$。焦点距離の2乗は$a_y^2-a_x^2=1$だから焦点は$(0,1),(0,-1)$。$h>g$では(2)を$$\displaystyle \frac{y^2}{g^2/h^2}-\frac{x^2}{(h^2-g^2)/h^2}=1$$と書ける。焦点距離の2乗は$g^2/h^2+(h^2-g^2)/h^2=1$なので、この場合も焦点は$(0,1),(0,-1)$である。さらに双曲線の漸近線は$\displaystyle y=\pm\frac{g}{\sqrt{h^2-g^2}}x$である。直角双曲線となる条件は漸近線の傾きの積が$-1$となること、すなわち$g^2=h^2-g^2$であるから、$h/g=\sqrt2$。