4産業医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

産業医科大学 2021 数学・第4問

問題の確認

原本画像（PDF p.10、印字ページ7）で第4問の(1)〜(3)を確認した。楕円は

$$\displaystyle x^2+\frac12y^2=1$$

であり、$D=(d,0)$、$|d|>1$。点Dを通る2本の接線のうち正の傾きを持つものを$\ell$、原点を通り$\ell$に平行な直線を$t$とする。求めるのは$\ell$、弦$QR$の長さ、および三角形$PQR$の面積である。

(1) 直線 $\ell$

$\ell$の傾きを$m$（$m>0$）とすると、Dを通るので

$$y=m(x-d)$$

である。これを楕円の式に代入すると

$$\displaystyle \left(1+\frac{m^2}{2}\right)x^2-m^2dx+\frac{m^2d^2}{2}-1=0.$$

接する条件は、この二次方程式が重解を持つこと、すなわち判別式が0となることである。したがって

$$\displaystyle \begin{aligned} 0&=(-m^2d)^2-4\left(1+\frac{m^2}{2}\right)\left(\frac{m^2d^2}{2}-1\right)\\ &= -2m^2d^2+4+2m^2, \end{aligned}$$

よって$m^2(d^2-1)=2$。$|d|>1$かつ$m>0$より

$$\displaystyle m=\sqrt{\frac{2}{d^2-1}}.$$

したがって

$$\displaystyle \boxed{\ell:\ y=\sqrt{\frac{2}{d^2-1}}\,(x-d)}.$$

(2) 線分 $QR$ の長さ

$t$の方程式は$y=mx$である。楕円との交点では

$$\displaystyle x^2+\frac12m^2x^2=1, \qquad x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+m^2/2}}.$$

したがって、交点の$x$座標の差の絶対値は$2/\sqrt{1+m^2/2}$。同一直線上で$y=mx$だから、距離はこの差に$\sqrt{1+m^2}$を掛けたものとなる。

$$\displaystyle \begin{aligned} QR&=\frac{2\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2/2}}\\ &=2\sqrt{\frac{1+2/(d^2-1)}{1+1/(d^2-1)}} =\boxed{\frac{2\sqrt{d^2+1}}{|d|}}. \end{aligned}$$

(3) 三角形 $PQR$ の面積

$QR$は直線$t$上にあり、$\ell$と$t$は平行である。2直線の式はそれぞれ$y=mx-md$、$y=mx$。よってその距離（点Pから直線$t$までの距離）は

$$\displaystyle \frac{|md|}{\sqrt{1+m^2}}.$$

以上から、底辺を$QR$、高さをこの距離とした面積は

$$\displaystyle \begin{aligned} [\triangle PQR] &=\frac12\cdot\frac{2\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2/2}} \cdot\frac{|md|}{\sqrt{1+m^2}}\\ &=\frac{|md|}{\sqrt{1+m^2/2}}\\ &=\frac{\sqrt{2d^2/(d^2-1)}}{\sqrt{d^2/(d^2-1)}} =\boxed{\sqrt2}. \end{aligned}$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{(1)\ y=\sqrt{\frac{2}{d^2-1}}(x-d),\qquad (2)\ QR=\frac{2\sqrt{d^2+1}}{|d|},\qquad (3)\ [\triangle PQR]=\sqrt2.}$$

使用した解法

接線条件を代入後の二次方程式の判別式で表し、直線と楕円の交点を連立方程式で求めた。線分の長さは距離の公式、三角形の面積は底辺と平行線間の距離を用いて計算した。