6筑波大学 2013年 数学 第6問解答・解説

楕円上の接線を代入後の二次方程式の判別式で調べる。$y=mx+k$ を楕円の式へ代入すると $$(16m^2+9)x^2+32mkx+16k^2-144=0.$$ 接する条件は判別式が0となることであり $$\Delta=576(16m^2+9-k^2)=0, \quad k=\pm\sqrt{16m^2+9}.$$ 従って $$\boxed{\ell_1:y=mx+\sqrt{16m^2+9},\qquad \ell_1':y=mx-\sqrt{16m^2+9}}.$$

(2) 2直線 $y-mx=\pm\sqrt{16m^2+9}$ の法線ベクトルは $(-m,1)$ で、その長さは $\sqrt{1+m^2}$。よって $$\displaystyle \boxed{d_1=\frac{2\sqrt{16m^2+9}}{\sqrt{1+m^2}}}.$$ $\ell_1$ の方向ベクトルは $(1,m)$ なので、これに直交する直線は法線ベクトル $(1,m)$ をもつ形 $x+my=d$ と書ける。この直線を楕円へ代入すると $$(9m^2+16)y^2-18mdy+9d^2-144=0.$$ 接する条件から $$\Delta=576(9m^2+16-d^2)=0, \quad d=\pm\sqrt{9m^2+16}.$$ これは $m=0$ の場合も含む。従って $$\ell_2:x+my=\sqrt{9m^2+16},\qquad \ell_2':x+my=-\sqrt{9m^2+16},$$ および $$\displaystyle \boxed{d_2=\frac{2\sqrt{9m^2+16}}{\sqrt{1+m^2}}}.$$

(3) $$\displaystyle d_1^2+d_2^2 =4\frac{(16m^2+9)+(9m^2+16)}{1+m^2} =\boxed{100},$$ $m$ によらず一定である。

(4) 2組の境界線は互いに直交するので囲まれる図形は長方形で、辺の長さは $d_1,d_2$。したがって $$\boxed{S=d_1d_2=d_1\sqrt{100-d_1^2}}.$$ また $$\displaystyle d_1^2=\frac{4(16m^2+9)}{1+m^2} =64-\frac{28}{1+m^2}.$$ よって $u=d_1^2$ と置けば $36\le u<64$ であり、$u=50$ は $m^2=1$ のとき実現する。さらに $$S^2=u(100-u)=2500-(u-50)^2\le2500.$$ 等号は $m=\pm1$ で成立するから、求める最大値は $\boxed{50}$。