2筑波大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 積和公式から $$\displaystyle \sin 2nt\cos t=\frac12\{\sin(2n+1)t+\sin(2n-1)t\}$$ である。$\displaystyle t_j=\frac{j\pi}{2n}$、$\displaystyle C_j=\cos\frac{j\pi}{2n}$ とおく。原始関数を $$\displaystyle F(t)=-\frac12\left(\frac{\cos(2n+1)t}{2n+1}+\frac{\cos(2n-1)t}{2n-1}\right)$$ とすれば、$F'(t)=\sin2nt\cos t$ である。また $$\cos((2n+1)t_j)=\cos((2n-1)t_j)=(-1)^jC_j$$ だから $$\displaystyle F(t_j)=-\frac{(-1)^j}{2}C_j\left(\frac1{2n+1}+\frac1{2n-1}\right) =-\frac{2n(-1)^j}{4n^2-1}C_j.$$ よって、$1\leq k\leq n$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{t_{k-1}}^{t_k}\sin2nt\cos t\,dt &=F(t_k)-F(t_{k-1})\\ &=(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n^2-1}(C_k+C_{k-1}), \end{aligned}$$ となり、(1)の式を得る。

(2) $x(\pi-t)=x(t)$、$y(\pi-t)=-y(t)$ である。したがって、$\displaystyle 0\leq t\leq\frac\pi2$ の枝とその反射が各 $0\leq x\leq1$ で上下の境界となる。前者では $x=\sin t$ が増加し、$dx=\cos t\,dt$ であるから、曲線で囲まれた各部分の面積の和は $$\displaystyle S_n=2\int_0^{\pi/2}|\sin2nt|\cos t\,dt.$$ 区間 $[t_{k-1},t_k]$ では $\sin2nt$ の符号が $(-1)^{k+1}$ であり、$C_k+C_{k-1}>0$ である。そこで(1)を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=2\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k+1}\int_{t_{k-1}}^{t_k}\sin2nt\cos t\,dt\\ &=\frac{4n}{4n^2-1}\sum\limits _{k=1}^n(C_k+C_{k-1})\\ &=\frac{4n}{4n^2-1}\left(1+2\sum\limits _{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}\right). \end{aligned}$$ $n\geq2$ では問題文の余弦和を代入すると括弧内は $\displaystyle \cot\frac{\pi}{4n}$ である。$n=1$ では和は空和で括弧内が $\displaystyle 1=\cot\frac\pi4$ となり、同じ式を得る。したがって $$\displaystyle S_n=\frac{4n}{4n^2-1}\cot\frac{\pi}{4n}.$$

(3) $\displaystyle u=\frac{\pi}{4n}$ とおくと $$\displaystyle S_n=\frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)}\,u\cot u =\frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)}\,\frac{\cos u}{\sin u/u}.$$ $n\to\infty$ で $u\to0^+$、$\cos u\to1$、$\displaystyle \frac{\sin u}{u}\to1$ であり、$\displaystyle \frac{16n^2}{4n^2-1}\to4$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac4\pi.$$