5筑波大学 2013年 数学 第5問解答・解説

(1) $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とする。もし $A^2=S$ ならば $$AS=A^3=SA$$ だから $A$ は $S$ と可換である。$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおいて $AS=SA$ を比較すると $a=d, b=c$ となり、$A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$。よって $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+b^2&2ab\\2ab&a^2+b^2\end{pmatrix}.$$ これが $S$ に等しいなら $a^2+b^2=0$ かつ $2ab=1$ となる。しかし実数 $a,b$ で前者から $a=b=0$ となり後者に矛盾する。したがってそのような $A$ は存在しない。

(2) $J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ とする。$A^2=J$ として積を計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}=J.$$ $s=a+d$ とおくと $bs=1, cs=-1$ なので $s\ne0, b=1/s, c=-1/s$。対角成分より $a^2=d^2$、すなわち $(a-d)(a+d)=0$ であるから、$s\ne0$ を用いて $a=d$ を得る。従って $s=2a$、$a\ne0$、$b=1/(2a), c=-1/(2a)$。再び対角成分を用いると $$\displaystyle a^2-\frac1{4a^2}=0\quad\text{より}\quad a^2=\frac12.$$ よって $a=d=\pm1/\sqrt2, b=a, c=-a$。この2つは $\displaystyle A=\pm\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ であり、$\left(\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}\right)^2=2J$ から実際に $A^2=J$ を満たす。

(3) 以後 $A^2=J$ とする。$J^2=-I$ より $A^4=-I, A^8=I$。また $$A^5=-A,\quad A^6=-A^2,\quad A^7=-A^3,\quad A^8=I$$ だから $A+A^2+\cdots+A^8=0$。$2013=8\cdot251+5$ より、251個の8項周期ブロックはすべて和が0であり、残る和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2013}A^k=A+A^2+A^3+A^4+A^5=J-I+AJ.$$ ここで $\displaystyle A_+=\frac{I+J}{\sqrt2}$、$\displaystyle A_-=-\frac{I+J}{\sqrt2}$ と書けるので、$\displaystyle A_\pm J=\pm\frac{J-I}{\sqrt2}$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2013}A_\pm^k=\left(1\pm\frac1{\sqrt2}\right)(J-I) =\left(1\pm\frac1{\sqrt2}\right)\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix}.$$