4筑波大学 2013年 数学 第4問解答・解説

P=a+b+c とおく。

・ 三つの漸化式を加えると $$p_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=-2p_n,\qquad p_1=P$$ となる。よって $p_n=(-2)^{n-1}P$ であり、 $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n p_k=P\sum\limits _{k=0}^{n-1}(-2)^k=\frac{P(1-(-2)^n)}{3}.$$

・ $a_{n+1}=a_n-p_n$ であり、同様に $b_{n+1}=b_n-p_n$, $c_{n+1}=c_n-p_n$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=a-\sum\limits _{k=1}^{n-1}p_k=a-\frac{P(1-(-2)^{n-1})}{3}=\frac{2a-b-c+P(-2)^{n-1}}{3},\\ b_n&=b-\sum\limits _{k=1}^{n-1}p_k=\frac{2b-c-a+P(-2)^{n-1}}{3},\\ c_n&=c-\sum\limits _{k=1}^{n-1}p_k=\frac{2c-a-b+P(-2)^{n-1}}{3}. \end{aligned}$$

・ $A_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2$ とおく。漸化式を二乗して足すと $$\begin{aligned} A_{n+1}&=(b_n+c_n)^2+(c_n+a_n)^2+(a_n+b_n)^2\\ &=2A_n+2(a_nb_n+b_nc_n+c_na_n)=A_n+p_n^2, \end{aligned}$$ 最後の等号では $p_n^2=A_n+2(a_nb_n+b_nc_n+c_na_n)$ を用いた。$q_n=(-1)^nA_n$ だから $$T_1=q_1+q_2=A_2-A_1=p_1^2=P^2.$$ また $p_{2n+1}=(-2)^{2n}P=4^nP$ より、任意の $n\geq1$ について $$\begin{aligned} T_{n+1}&=T_n+q_{2n+1}+q_{2n+2}\\ &=T_n+A_{2n+2}-A_{2n+1}\\ &=T_n+p_{2n+1}^2=T_n+P^2 16^n. \end{aligned}$$ $P$ は奇数なので $P^2$ は正の奇数である。したがって $T_1=P^2$ は正の奇数である。$T_n$ が正の奇数ならば、$P^2 16^n$ は正の偶数なので $T_{n+1}=T_n+P^2 16^n$ も正の奇数である。数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $T_n$ は正の奇数である。さらに漸化式から $$\displaystyle T_n=P^2\sum\limits _{j=0}^{n-1}16^j=\frac{P^2(16^n-1)}{15}.$$