3琉球大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(問1) 漸化式を $$\displaystyle c_{n+1}=a_{n+1}+\frac13c_n$$ と書き直す。$c_1=1$ より $c_2=a_2+1/3$ だから，$n=2$ のとき $$\displaystyle c_2=\frac{1}{3^{2-1}}+\sum\limits _{i=2}^{2}\frac{a_i}{3^{2-i}}$$ が成り立つ。

$n\ge2$ で $$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{a_i}{3^{n-i}}$$ が成り立つと仮定する。このとき $$\displaystyle \begin{aligned} c_{n+1} &=a_{n+1}+\frac13c_n\\ &=a_{n+1}+\frac{1}{3^n}+\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{a_i}{3^{n+1-i}}\\ &=\frac{1}{3^n}+\sum\limits _{i=2}^{n+1}\frac{a_i}{3^{n+1-i}}. \end{aligned}$$ よって $n+1$ の場合も成り立つ。以上より，数学的帰納法で示された。

(問2) 問1の式に $\displaystyle a_i=1+2^{-i}+\frac13 4^{-i}$ を代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} c_n={}&\frac{1}{3^{n-1}}+\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{3^{n-i}} +\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{2^i3^{n-i}} +\frac13\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{4^i3^{n-i}}. \end{aligned}$$ それぞれ等比数列の和を用いると $$\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}+\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{3^{n-i}} =\frac{1}{3^{n-1}}+\frac{1-(1/3)^{n-1}}{1-1/3}\longrightarrow\frac32,$$ $$\displaystyle \sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{2^i3^{n-i}} =\frac{1}{3^n}\sum\limits _{i=2}^{n}\left(\frac32\right)^i =\frac{3}{2^n}-\frac{9}{2\cdot3^n}\longrightarrow0,$$ $$\displaystyle \frac13\sum\limits _{i=2}^{n}\frac{1}{4^i3^{n-i}} =\frac{1}{3^{n+1}}\sum\limits _{i=2}^{n}\left(\frac34\right)^i =\frac{1-(3/4)^{n-1}}{4\cdot3^{n-1}}\longrightarrow0.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}c_n=\frac32}.$$