1琉球大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$b=\sqrt{a^2-1}>0$,　 $\displaystyle y'(a)=\frac ab$.　 $\displaystyle y-b=\frac ab(x-a)$より $\displaystyle Q=\left(0,b-\frac{a^2}{b}\right)=\left(0,-\frac1b\right)$.

$\displaystyle PQ^2=a^2+\left(b+\frac1b\right)^2=2b^2+3+\frac1{b^2}$.　 $u=b^2>0$ とおけば $\displaystyle PQ^2=3+2u+\frac1u\geq3+2\sqrt2$.

等号成立条件は$\displaystyle 2u=\frac1u$、すなわち$\displaystyle u=\frac1{\sqrt2}$。したがって $\displaystyle \min PQ^2=3+2\sqrt2$.

曲線上の点P(a,b)では$b=\sqrt{a^2-1}>0$、接線の傾きは$\displaystyle \frac ab$。接線は$\displaystyle y-b=\frac ab(x-a)$であり、$x=0$とおくと$\displaystyle Q=(0,b-\frac{a^2}{b})=(0,-\frac1b)$。 $\displaystyle PQ^2=a^2+(b+\frac1b)^2$。$a^2=b^2+1$を使い$u=b^2>0$とおくと$\displaystyle PQ^2=2u+3+\frac1u$。相加相乗平均より$\displaystyle 2u+\frac1u\geq2\sqrt2$で、等号は$\displaystyle 2u=\frac1u$、すなわち$\displaystyle u=\frac1{\sqrt2}$のとき。よって最小値は$3+2\sqrt2$。